6. Линейная алгебра — пакет LinearAlgebra

Линейная алгебра— пакет LinearAlgebra

Пакет расширения LinearAlgebra добавляет ряд новых функций, полезных при решении сложных задач линейной алгебры.

Декомпозиция Холесского — Cholesky

Подпакет Cholesky содержит единственную функцию HoleskyDecomposition [m], которая вычисляет декомпозицию (факторизацию, разложение) Холесского для симметричной положительно определенной матрицы т.

Примеры выполнения декомпозиции Холесского даны ниже:

<<LinearAlgebra`Cholesky`

hil = Tablet l/(i + j - 1) , {i, 1, 4}, {j, 1, 4}]

Eigenvalues[ N[hil] ]

{1.50021, 0.169141, 0.00673827, 0.0000967023}

u = CholeskyDecomposition[hil]

MatrixForm[Transpose[u] . u]

Метод исключения Гаусса — GaussianElimination

Следующие функции обеспечивают реализацию метода исключения Гаусса при решении линейного уравнения вида А-x =b:

• LUFactor [m] — возвращает LU-декомпозицию матрицы m;
• LUSolve [lu, b] — решает систему линейных уравнений с матрицей коэффициентов lu и вектором свободных членов b методом исключения переменных Гаусса;
• LU [a, pivots] — создает объект, используемый в LUSolve. Применение этих функций поясняют примеры, показанные ниже:

<<LinearAlgebra`GaussianElimination`

MatrixForm[a = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {-1, 5, -5}}]

lu = LUFactor[a]

b = {10, -3, 12}

{10, -3, 12}

LUSolve[lu, b]

Метод исключения Гаусса является хорошо апробированным методом решения систем линейных уравнений, что делает реализацию описанных функций полезным дополнением к встроенным функциям линейной алгебры.

Операции с матрицами — MatrixManipulation

Подпакет MatrixManipulation добавляет к матричным функциям ядра системы Ма-thematica ряд новых функций. Начнем с функций объединения матриц:

• AppendColumns [ml,m2,...] — объединяет по столбцам матрицы ml,m2,...;
• AppendRows [ml,m2,...] — объединяет по строкам матрицы ml,m2,...;
• BlockMatrix [blocks] — объединяет по строкам и столбцам блоки blocks, создавая новую матрицу.

Данные операции с матрицами иллюстрируют следующие примеры:

<< LinearAlgebra`MatrixManipulation`

a = {{a11, a12}, {a21, a22}}; MatrixFormfa]

b = {{b11, b12}, {b21, b22}}; MatrixForm[b]

MatrixForm[AppendColumns[a, b] ]

AppendRows[a, b] //MatrixForm

BlockMatrix[{{a, b}, {b, {{0, 0}, {0, 0}}}}] //MatrixForm

Следующая группа функций вставляет или удаляет столбцы или строки матриц:

• TakeRows [mat, n] — вставляет в матрицу mat n-ю строку;
• TakeRows [mat, -n] — удаляет из матрицы mat п-ю строку;
• TakeRows [mat, {m,n} ] — вставляет в матрицу mat строки от m до n;
• TakeColumns [mat, n] — вставляет в матрицу mat п-й столбец;
• TakeColumns [mat, -n] — удаляет из матрицы mat п-й столбец;
• TakeColumns [mat, {m, n} ] — вставляет в матрицу mat столбцы от m до п.

Действие функции иллюстрируется следующими примерами:

mat = Array[m, 3, 4]; MatrixForm[mat]

m[l, 1] m[l, 2] m[l, 3] m[l, 4]

m[2, 1] m[2, 2] m[2, 3] m[2, 4]

m[3, 1] m[3, 2] m[3, 3] m[3, 4]

TakeRows[mat, -2] //MatrixForm

m[2, 1] m[2, 2] m[2, 3] m[2, 4]

m[3, 1] m[3, 2] m[3, 3] m[3, 4]

TakeColumns[mat, {2,3}] //MatrixForm

m[l, 2] m[l, 3] )

m[2, 2] m[2, 3]

m[3, 2] m[3, 3]

TakeMatrix[mat, {2, 3}, {3, 4}] //MatrixForm

m[2, 3] m[2, 4]

m[3, 3] m[3, 4]

SubMatrix[mat, {2, 3}, {2, 2}] //MatrixForm

m[2, 3] m[2, 4]

m[3, 3] m[3, 4]

Следующая группа функций служит для задания матриц специального вида:

• UpperDiagonalMatrix [f, n] — формирует наддиагональную матрицу размером пхп;
• LowerDiagonalMatrix [f, n] — формирует поддиагональную матрицу размером пхп;
• ZeroMatrix [n] — формирует квадратную нулевую матрицу размером пхп;
• ZeroMatrix [m, n] — формирует нулевую матрицу размером тхп;
• HilbertMatrix [n] — формирует квадратную матрицу Гильберта размером пхп;
• HilbertMatrix [m, n] — формирует матрицу Гильберта размером тхп;
• HankelMatrix [n] — формирует квадратную матрицу Ганкеля размером пхп;
• HankelMatrix [m, n] — формирует матрицу Ганкеля размером тхп.

Примеры задания матриц разного типа приведены ниже:

UpperDiagonalMatrix[f, 3] //MatrixForm

LowerDiagonalMatrix[#1 + #2 &, 4] //MatrixForm

HilbertMatrix[2, 4] //MatrixForm

HankelMatrix[{w, x, y, z}] //MatrixForm

Наконец, в подпакет входит еще одна функция, LinearEquationsToMatri-ces [eqns, vars], которая из записи линейного уравнения eqns с переменными vars формирует расширенную матрицу, содержащую матрицу коэффициентов левой части уравнения и вектор свободных членов.

Пример применения данной функции:

LinearEquationsToMatrices[

а[1,1]*х + а[1,2]*у == с[1],

а[2,1]*х + а[2,2]*у == с[2], х, у]

{{{{{a11, a12), {а21, а22}}[1, 1],

{{a11, a12), {a21, а22}}[1, 2]}, {{{a11, a12}, {a21, a22}}[2, 1],

{{a11, a12), {a21, a22}} [2, 2]}}, {c[l],c[2]}}

Ортогонализация и нормализация — Ortogonalization

В подпакете ортогонализации Ortogonalization имеются следующие функции:

• GramSchmidt [ {vl, v2,...} ] — создает ортогональное множество на основе списка векторов v1, v2, ...;
• Normalize [vect] — возвращает нормированный вектор vect;
• Projection [vectl, vect2] — дает ортогональную проекцию вектора vl на вектор v2.

В этих функциях после аргументов допустимы опции InnerProduct->exprn Normalized->False (отказ от нормировки). Примеры работы с функциями ортогонализации представлены ниже:

<<LinearAlgebra`Orthogonalization`

{wl, w2, w3} = GramSchmidt[ {{1,3,2}, {2,4,3}, {2,4,6}}]

{ wl . w2, w2 . w3, wl . w3, wl . wl, w2 . w2, w3 . w3}

{0, 0, 0, 1, 1, 1}

GramSchmidt[{1, x, x^2, x^3, x^4}, InnerProduct -> (Integrate[#l #2,{x,-l,l}]&)] //Simplify

Normalize[LegendreP[2,x], InnerProduct ->(Integrate[#l #2,{x,-l,l}]&)]

{wl, w2} = GramSchmidt[{{3,4,3}, {2,3,6}}, Normalized -> False]

{wl . wl, wl . w2}

{34, 0}

Решение линейных уравнений с трехдиагональной матрицей —Tridiagonal

При решении линейных уравнений часто встречаются матрицы особой формы — трехдиагональные. Подпакет Tridiagonal имеет функцию для решения линейных уравнений с такой матрицей:

• TridiagonalSolve [a,b, с, г] — решение системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей m. х==г (диагонали представлены векторами а, b и с, вектор свободных членов — г).

Пример применения данной функции:

<<LinearAlgebra` Tridiagonal`

{а, b, с} = {{1, 2, 3}, {4, 5, б, 7}, {10, 9, 8}}

{{1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7}, {10, 9, 8}}

m = Table[Switch[ j-i, -1, a[[j]], 0, b[[jj], 1, c[[j-l]], _, 0], {i, 4}, {j, 4}]//MatrixForm

TridiagonalSolve[a, b, c, {8, 3, 4, 5}

С учетом представленных функций и функций ядра набор матричных средств системы Mathematica является одним из наиболее полных. В области решения задач в численном виде он несколько уступает лишь специализированной матричной системе MATLAB 5.0/5.3.