Пакет вычислительных функций Calculus
Пакет расширения Calculus содержит представительный набор функций для решения дифференциальных уравнений, задания функций единичного скачка и импульса, выполнения операций с векторами, преобразований Фурье и Лапласа, выполнения спектрального анализа и синтеза, расширенного вычисления пределов и проведения аппроксимаций аналитических функций. Для открытия пакета используется команда Calculus`
Решение дифференциальных уравнений — DSolvelntegrals
Многие нелинейные дифференциальные уравнения не имеют общего решения. В под-пакете DSolvelntegrals определены функции, позволяющие найти решения в форме полного интеграла:
Применение этих функций поясняют следующие примеры:
<<Calculus`DSolvelntegrals`
Completelntegral[
Derivative[0, 1][u][х, у] == (u[x, у] +
x^2*Derivative[l, 0][u][x, y]^2)/y, u[x,y], {х,у}]
Completelntegral[-u[x, у] +
(2 + y)*Derivative[0, 1][u] [x, y] +
x*Derivative[l, 0][u][x, y] + 3*Derivative[l, 0][u][x, y]^2 == 0,
u[x,y], {x,y}, IntegralConstants->F]
Differentiallnvariants[
{U`[X] == -(U[X] (U[X] +V[X])),
V`-[x] == V[x] (u[x] +V[x])},{u, v}, x]
Дельта-функция Дирака — DiracDelta
В подпакете DiracDelta системы Mathematica 3 задано определение двух полезных функций Дирака:
Рисунок 11.1 поясняет применение этих функций. Функция UnitStep имеет простую графическую иллюстрацию, тогда как построение графика функции DiracDelta в принципе невозможно — эта функция представляет собой линию бесконечно большой высоты в точке х - 0. Обратите внимание на то, что интеграл от функции Дирака при интегрировании от -°° до +°° равен 1.
Рис. 11.1. Робота с функцией единичного скачка и дельта-функцией Дирака
Обе описанные функции широко применяются при решении задач автоматического регулирования и при математическом моделировании систем и устройств. Поэтому в системе Mathematica 4 они перешли в разряд встроенных функций.
Улучшенное вычисление пределов — Limit
Подпакет Limit не создает новых функций. Он просто переопределяет встроенную функцию Limit, так что ограничимся примерами его применения:
<<Calculus` Limit`
Limit[Е^х^х/ Е^х^(2 х), x->Infinity]
0
Limit [Е^х^х— Е^х^ (2 х) , x->Infinity]
-бесконечность
Limit[E:x ExpIntegralE[2, ArcTan[E^x]- Pi/2] -E^x- x, x->Infinity]
1 - EulerGamma - I л
Limit[Zeta[l+x, v] - 1/x, x->0]
-PolyGamma[0, v] ,
Limit[x^0 PolyGamma[2,x], x->Infinity] .
0
Limit[x^2 PolyGamma[2,x], x->Infinity]
-1
Limit[x^3 PolyGamma[2,x], x->Infinity]
-бесконечность
Работа скорректированной функции наиболее эффективна при вычислении пределов от выражений, содержащих специальные математические функции, и пределов при х, стремящемся к бесконечности.
Рациональная аппроксимация аналитических функций — Fade
Полиномиальная аппроксимация и обычное разложение функций в ряд Тейлора нередко дают слишком большую погрешность. Уменьшение ее возможно при представлении аппроксимирующей функции в виде отношения двух полиномов разной степени. В подпакете Fade определены две функции для рациональной аппроксимации Паде:
Аппроксимация Паде является расширением полиномиальной аппроксимации, обеспечивающим повышенную точность представления функции. На рис. 11.2 представлен пример выполнения аппроксимации Паде с построением графика исходной функции (темная линия) и аппроксимирующей функции (более светлая линия).
Рис. 11.2. Пример, осуществления аппроксимации Паде
Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации показан на рис. 11.3. Здесь также дана визуализация аппроксимации в виде наложенных друг на друга графиков исходной и аппроксимирующей функций.
Рис. 11.3. Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации
Экономичная рациональная аппроксимация обычно позволяет получить приемлемую погрешность при меньшей степени полиномов числителя и знаменателя аппроксимирующей функции. В ограниченной области {xmin, xmax} эта аппроксимация нередко позволяет получить погрешность менее сотых долей процента (рис. 11.4). На этом рисунке показан график погрешности в виде разности между значениями аппроксимирующей и аппроксимируемой функций.
Рис. 11.4. Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации с построением графика погрешности
Несмотря на обширные возможности выбора средств аппроксимации, все же надо отметить, что они уступают таковым у конкурента системы Mathematica — Maple V R4/R5, где функций для осуществления аппроксимации больше.
Векторный анализ —VectorAnalysis
Подпакет VectorAnalysis содержит множество функций, используемых при выполнении векторного анализа. Здесь надо иметь в виду, что речь идет не о векторах как представителях одномерных массивов, которые рассматривались ранее. В данном случае вектор — это направленный отрезок прямой в пространстве, заданном той или иной системой координат.
Системы координат и их преобразования
Заметная часть функций подпакета VectorAnalysis относится к заданию и преобразованию координат:
Ниже даны названия систем координат и соответствующие им представления.
Наименование | Представление |
Прямоугольные | Cartesian [х, у, z] |
Цилиндрические | Cylindrical [r, theta, z] |
Сферические | Spherical [r, theta, phi] |
Параболические цилиндрические | ParabolicCylindrical [u, v, z] |
Параболические | Paraboloidal [u, v, phi] |
Эллиптические цилиндрические | EllipticCylindrical [u, v, z, a] |
Вытянутые сфероидальные | ProlateSpheroidal [xi, eta, phi, a] |
Сплющенные сфероидальные | OblateSpheroidal [xi, eta, phi, a] |
Биполярные | Bipolar[u, v, z, a] |
Бисферические | Bispherical [u, v, phi, a] |
Тороидальные | Toroidal [u, v, phi, a] |
Конические | Conical [lambda, mu, nu, a, b] |
Конфокальные эллипсоидальные | ConfocalEllipsoidal [lambda, rnu, nu, a, b, c] |
Конфокальные параболические | ConfocalParaboloidal [lambda, mu, nu, a, bj |
Например, параболическую систему координат можно задать следующим образом:
SetCoordinates[Paraboloidal[x, у, z] ]
Paraboloidal [x, у, z]
{CoordinateSystem, Coordinates[]}
{Paraboloidal, {x, y, z}}
Ряд функций служит для контроля и установки параметров систем координат:
Ниже представлены примеры применения этих функций:
CoordinateRanges[]
{0<Х<бесконечности,0<Y<бесконечность,-л<Z<=л}
Parameters[]
{}
ParameterRanges[ ]
Coordinates[Conical], CoordinateRanges[Conical]
{{Llanibda, Мmu, Nnu}, {-бесконечность< Llambda< бесконечность, l< Mmu2 < 4, Nnu2< 1}}
Parameters[Bipolar],ParameterRanges[Bipolar]
{{1}, 0< #1<бесконечность}
Для преобразования координат служат следующие функции:
Эти примеры демонстрируют преобразования координат:
CoordinatesToCartesian[{I, Pi/3, Pi/3}, Spherical]
CoordinatesToCartesian [u, v, phi}, Bipolar]
CoordinatesFromCartesian [ {x, y, z} , Bipolar]
{-2Im[ArcCoth[x+ Iy]] , 2Re[ArcCoth[x+ Iy] ] , z}
Функции векторного анализа
Помимо функций для задания и преобразования систем координат подпакет Vector An a lysis содержит ряд функций собственно векторного анализа:
Примеры выполнения этих операций представлены ниже:
SetCoordinates[ParabolicCylindrical[ ]]
ParabolicCylindrical[Uu, W, Zz]
DotProduct[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}]
-12.8093
CrossProduct[{1.2, 1.1, 0}, {5.4, -2, 1.2}]
{-1.78157, 0.0774597, -17.8476}
ScalarTripleProduct[{1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {0, 1, 1}, Cartesian]
2
Для вычисления производной дуги служат функции:
Примеры вычисления дифференциалов и длин дуг с помощью этих функций:
param = {Cos[t], Sin[t], t}
{Cos[t], Sin[t], t}
ArcLengthFactor[ param, t, Cartesian] //Simplify
корень из 2
f[x_, y_, z_] := x^2 y^2 z
Integrate[ f[param] ArcLengthFactor[
param, t, Cartesian], {t, 0, 2 Pi}] // Simplify
Ряд функций служит для создания матрицы Якоби (матрицы частных производных) и вычисления относящихся к ней понятий:
Применение этих функций поясняют следующие примеры:
JacobianMatrix[Cartesian[x, у, z]]
{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}
JacobianMatrix[Spherical[r, t, p] ]
{{Cos[p] Sin[t] , rCos[p] Cos[t] ,-rSin[p] Sin[t]},
{Sin[p] Sin[t] , rCos[t] Sin[p] , rCos[p] Sin[t]},
{Cos[t] , -rSin[t], 0}}
JacobianDeterminant[Spherical[r, t, p] ]
r^2Sin[t]
Integrate[r^2 JacobianDeterminant[ Spherical[r, theta, phi]],
{r, 0, 2}, {theta, 0, Pi}, {phi, -Pi, Pi}]
128n/5
Следующие функции определяют ряд характеристик векторного поля:
Приведем примеры использования этих функций:
Laplacian[x*y^2*z^3,ProlateSpheroidal[х, у, z]]
(Csc[y] Csch[x] (y2z3Cosh[x] Sin [у] +
2xyz3Cos[y] Sirih[x] +2xz3Sin[y] Sinh[x] +
6xy2zCsc[y] Csch[x] (Sin[y]2+ Sinh[x]2))) /
(Sin[y]2+Sinh[x]2)
Grad[x^2 y^3 z^4,ProlateSpheroidal[x, у, z]]
Вариационные методы —VariationalMethods
Подпакет VariationaLMethods содержит функции для реализации вариационных методов. Напомним, что вариационные методы заменяют минимизацию функционала, заданного на некотором бесконечномерном линейном пространстве, задачами его минимизации на последовательности конечномерных подпространств. Функционал в системе Mathematica задается следующим образом:
F= f[u[x], u'(x),x]dx
В данный подпакет включены следующие функции:
Применение данных функций поясняют следующие примеры:
<<Calculus `VariationalMethods`
VariationalD[y[x] Sin[l+y'[x]], y[x], x]
-Cost 1 +У [x]] y'[x] + Sin[l + y'[x]] d+y[x] y'[x])
EulerEquations[ m1^2 theta1[t]^2/2+m g 1 Cos[theta[t]], theta[t], t]
-Im(gSin[theta[t]] + 1 theta''[ t]) == 0
Firstlntegrals[m(r'[t]^2+r[t]^2 phi'[t]^2)/ 2-U[r], r[t],phi[t], t]
{Firstlntegral[phi] ->-mr[ t]2 phi' [ t] , Firstlntegral[t] -> 1/2 (2U[r] + m (r[t]2phi'[t]2 + r^t]2)) }
Помимо указанных функций подпакет содержит функцию VariationalBound для представления границ и значений функционала. Ввиду громоздкости записи параметров этой функции ограничимся примерами ее применения:
VariationalBound[(-u[r] D[r^2 u'[r],r]/r^2-2u[r]^2/r)r^2,
u[r]^2 r^2,u[r], r,0,Infinity,(a-r)E^(-b r),a,b]
{-0.25, (a-> 2., b-> 0.5}}
VariationalBound[-u[x,у](D[u[x,y],x,2]+
D[u[x,y],y,2]) -2u[x,y],u[x,y],x,-a,a,y,-a,a,
(x^2-a^2)(y^2-a^2)(al+a2(x^2+y^2)),al,a2]
С полными возможностями этой функции можно ознакомиться по справочной базе данных (раздел Add-ons).