9. LU-разложение разреженных матриц

LU-разложение разреженных матриц

Функция luinc осуществляет неполное LU-разложение и возвращает нижнюю треугольную матрицу, верхнюю треугольную матрицу и матрицу перестановок для разреженных матриц [ Благодаря LAPACK в MATLAB 6 появилась отсутствующая в прежних версиях возможность использовать команду lu для точного LU-разложения разреженных матриц. — Примеч. ред. ]. Используется в следующих формах:

• luincCX, '0') — возвращает неполное LU-разложение уровня 0 квадратной разреженной матрицы. Треугольные факторы (множители) имеют такую же разреженность (т. е. график разреженности, см. spy), как и матрица перестановок квадратной матрицы X, и их произведение имеет ту же разреженность, что и матрица перестановок X. Функция luinc(X, '0') .возвращает нижнюю треугольную часть нижнего фактора (множителя) и верхний треугольный фактор в одной и той же результирующей матрице. Вся информация о матрице перестановок теряется, но зато число ненулевых элементов результирующей матрицы равно числу ненулевых элементов матрицы X с возможностью исключения некоторых нулей из-за сокращения;

• [L,U] = luincCX. 'О'), где X — матрица размером nхn, возвращает нижнюю треугольную матрицу L и верхнюю треугольную матрицу U. Разреженности матриц L, U и X не сравнимы, но сумма числа ненулевых элементов в матрицах L и U поддерживается равной nnz(X)+n с возможностью исключения некоторых нулей в L и U из-за сокращения;

• [L,U.P]=luinc(X, '0') — возвращает нижнюю треугольную матрицу L, верхнюю треугольную матрицу U и матрицу перестановок Р. Матрица L имеет такую же разреженную структуру, как нижняя треугольная часть перестановленной матрицы X — spones(L)=spones(tril(P*X)), с возможными исключениями единиц на диагонали матрицы L, где Р*Х может быть равно 0;

• luinc(X,droptol) — возвращает неполное LU-разложение любой разреженной матрицы, используя порог droptol. Параметр droptol должен быть неотрицательным числом;
  

• luinc(X,droptol) — возвращает приближение к полному LU-разложению, полученному с помощью функции lu(Х). При меньших значениях droptol аппроксимация улучшается, пока значение droptol не станет равным 0. В этом случае имеет место полное LU- разложение;

• luinc(X,options) — использует структуру с четырьмя переменными, которые могут быть использованы в любой из комбинаций: droptol, milu, udiag, thresh. Дополнительные поля игнорируются. Если miliKL, функция luinc возвращает модифицированное неполное LU-разложение. Если udiag=l, то все нули на диагонали верхней треугольной части заменяются на локальную ошибку droptol;

• luincCX.options) — то же самое, что и luinc(X,droptol), если options содержит только параметр droptol; О [L.U] = luincCX,options) — возвращает перестановку треугольной матрицы L и верхнюю треугольную матрицу U. Результат L*U аппроксимирует X;

• [L.U.P] = luinc(X.options) — возвращает нижнюю треугольную матрицу L, верхнюю треугольную матрицу U и матрицу перестановок Р. Ненулевые входные элементы матрицы U удовлетворяют выражению abs(U(i. j))>=droptol* norm((X:.j)) с возможным исключением диагональных входов, которые были сохранены, несмотря на неудовлетворение критерию;

• [L.U.P] = luincCX,options) — то же самое, что и [L.U.P] = 1uinc(X,dropto1), если options содержит только параметр droptol.