2. Элементарные разреженные матрицы

Элементарные разреженные матрицы

Вначале рассмотрим элементарные разреженные матрицы и относящиеся к ним функции системы MATLAB.

Функция spdiags расширяет возможности встроенной функции diag. Возможны четыре операции, различающиеся числом входных аргументов:

• [B.d] = spdiags(A) — извлекает все ненулевые диагонали из матрицы А размера mxn. В — матрица размера min(m,n)xp, столбцы которой р являются ненулевыми диагоналями A. d — вектор длины р, целочисленные элементы которого точно определяют номера диагоналей матрицы А (положительные номера — выше главной диагонали, отрицательные — ниже);

• В = spdiags(A.d) — извлекает диагонали, определенные вектором d;

• А = spdiags(B,d,A) — заменяет столбцами матрицы В диагонали матрицы А, определенные вектором d;

• А = spdiags(B,d,m,n) — создает разреженную матрицу размера mxn, размещая соответствующие столбцы матрицы В вдоль диагоналей, определяемых вектором d.

Пример:

» А=[1 3 4 6 8 0 0; 7 8 0 7 0 0 5;

0 0 0 0 0 9 8; 7 6 54 32 0 9 6];

» d=[l 322]

» В = spdlags(A.d)

В =

3644. 0077

0900

0699

• S = speye(m.n) — возвращает разреженную матрицу размера mxn с единицами на главной диагонали и нулевыми недиагональными элементами;

• S = speye(n) — равносильна speye(n.n). Пример:

» S = speye(4)

S =

(1,1)     1

(2.2)     1

(3.3)     1

(4.4)     1

Матрица R = sprand(S) имеет ту же структуру, что и разреженная матрица S, но ее элементы распределены по равномерному закону:

• R = sprand(m,n,density) — возвращает случайную разреженную матрицу размера mxn, которая имеет приблизительно densityxmxn равномерно распределенных ненулевых элементов (0<density<l);

• R = sprand(m,n,density,re) — в дополнение к этому имеет в числе параметров число обусловленности по отношению к операции обращения, приблизительно равное rс. Если вектор гс имеет длину lr (A,r<min(m.n)), то матрица R имеет гс в качестве своих первых 1 r сингулярных чисел, все другие значения равны нулю. В этом случае матрица R генерируется с помощью матриц случайных плоских вращений, которые применяются к диагональной матрице с заданными сингулярными числами. Такие матрицы играют важную роль при анализе алгебраических и топологических структур.

Пример: 

» d=sprand(4,3.0.6) 

d =

(1.1)     0.6614

(2.1)     0.2844

(4,1)     0.0648

(3,3)     0.4692

(4,3)     0.9883

• R = sprandn(S) — возвращает матрицу со структурой разреженной матрицы S, но с элементами, распределенными по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией, равной 1;

• R = sprandn(m,n,density) — возвращает случайную разреженную матрицу размера mxn, имеющую примерно densityxmxn нормально распределенных ненулевых элементов (0<density<l);

• R = sprandnCm,n.density,гс) — в дополнение к этому имеет своим параметром число обусловленности по отношению к операции обращения, приблизительно равное rс. Если вектор гс имеет длину 1r (Xr<min(m,n)), то матрица R имеет гс в качестве своих первых 1r сингулярных чисел, все другие значения равны нулю. В этом случае матрица R генерируется с помощью матриц случайных плоских вращений, которые применяются к диагональной матрице с заданными сингулярными числами.

Пример:

» f=sprandn(3,4.0.3) 

f =

(2.1) -0.4326

(2.2) -1.6656

(2.3) 0.1253

(2.4) 0.2877

• sprandsym(S) — возвращает случайную симметрическую матрицу, нижние под-диагонали и главная диагональ которой имеют ту же структуру, что и матрица 5. Элементы результирующей матрицы распределены по нормальному закону со средним, равным 0, и дисперсией, равной 1;

• sprandsym(n,density) — возвращает симметрическую случайную разреженную матрицу размера пхп, которая имеет приблизительно densityxnxn ненулевых элементов; каждый элемент сформирован в виде суммы нормально распределенных случайных чисел (0<density<l);

• R = sprandsym(n,density,гс) — возвращает матрицу с числом обусловленности по отношению к операции обращения, равным гс. Закон распределения не является равномерным; значения случайных элементов симметричны относительно 0 и находятся в пределах [-1, 1]. Если rс — вектор размера п, то матрица R имеет собственные значения, равные элементам вектора rс. Таким образом, если элементы вектора гс положительны, то матрица R является положительно определенной. В любом случае матрица R генерируется с помощью случайного вращения по Якоби диагональных матриц с заданными собственными значениями и числом обусловленности. Такие матрицы играют важную роль при анализе алгебраических и топологических структур;

• R = sprandsym(n.density.rc.klnd) — возвращает положительно определенную матрицу. Аргумент kind может быть следующим:

  • kind=l — матрица R генерируется из положительно определенной диагональной матрицы с помощью случайных вращений Якоби. R имеет точно заданное число обусловленности;

  • kind=2 — матрица R генерируется как смещенная сумма матриц внешних произведений. Число обусловленности матрицы приблизительно, но структура более компактна (по сравнению с предыдущим случаем);

  • kind=3 — генерируется матрица R той же структуры, что и S, а число обусловленности приближенно равно 1/гс. Значение density игнорируется.

Пример:

» a=sprandsym(4,0.3.0.8) 

а =

(1.1) 0.9818

(3.1) 0.0468

(2,2) -0.9283

(1,3) 0.0468

(3.3) 0.8800

(4.4) -0.8000