25. Матричные функции

Матричные функции

Весьма представителен в MATLAB набор матричных функций. Они перечислены ниже.

• ехрт(Х) — возвращает е ^х от матрицы X. Комплексный результат получается, если X имеет неположительные собственные значения. Функция expm является встроенной и использует разложение Паде. Ее вариант в виде m-файла располагается в файле expm1.m. Второй метод вычисления матричной экспоненты использует разложение Тейлора и находится в файле expm2.m. Метод Тейлора не рекомендуется применять как основной, так как он зачастую бывает относительно медленным и неточным. Реализация третьего способа вычисления матричной экспоненты находится в файле ехртЗ.m и использует спектральное разложение матрицы А. Этот метод неудачен, если входная матрица не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов.

Пример:

» S-[l.0.3:1.3.1:4.0.0] 

S=

1 0 3

1 3 1

4 0 0

>>a=expm(S) 

а =

31.2203     0     23.3779

38.965920.0855     30.0593

31.1705     0     23.4277

• funm(X, @f unction)[ Форма funm(X,@function), как в предыдущих версиях MATLAB, по-прежнему возможна, но не рекомендуется.— Примеч. ред. ]— возвращает любую функцию от квадратной матрицы X, если правильно ввести имя, составленное из латинских букв. Команды funm(X ,@exp), funm(X,@sqrt), funm(X.@log) Hexpm(X),sqrtm(x),logm(X) вычисляют соответственно одинаковые функции, но используют разные алгоритмы. Однако предпочтительнее использовать ехрт(Х), sqrtm(x).logm(X);

• [Y.esterr] = funm(X.@f uncti on) — не выдает никакого сообщения, но помимо результата вычислений в матрице Y возвращает грубую оценку относительной погрешности результата вычислений funm в esterr. Если матрица X — действительная симметрическая или комплексная эрмитова, то ее форма Шура диагональна и полученный результат может иметь высокую точность.

Примеры:

» S=[1,0.3:1.3.1:4,0.0]

1     0     3

 1     3    1

 4    0    0

» a=funm(S.@exp) 

a=

31.22030.0000 23.3779

38.965920.085530.0593

31.1705-0.000023.4277

• logm(X) — возвращает логарифм матрицы. Результат получается комплексным, если X имеет отрицательные собственные значения;

• [Y.esterr]=logm(X) — не выдает какого-либо предупреждающего сообщения, но возвращает оценку погрешности в виде относительной невязки norm(expm(Y)-X)/norm(X);

Если матрица X — действительная симметрическая или комплексная эрмитова, то теми же свойствами обладает и logm(X).

Пример:

а=

31.22030.0000 23.3779 

38.965920.085530.0593 

31.1705-0.000023.4277

» logm(a) 

ans =

1.0000 0.0000 3.0000

1.0000 3.0000 1.0000

4.0000 -0.0000-0.0000

• sqrtm(X) — возвращает квадратный корень из X, соответствующий неотрицательным действительным частям собственных значений X. Результат получается комплексным, если X имеет отрицательные собственные значения. Если X вырожденная, то выдает предупреждение об ошибке;

• [Y.resnonii]=sqrtm(X) — не выдает какого-либо предупреждающего сообщения, но возвращает оценку погрешности в виде относительной невязки по нормам Фробениуса (см. урок 11) norm(X-Y ^{^} 2, ' fro') /norm(X, ' fro') ;

• [Y. alpha, condest]=sqrtm(X) — с тремя выходными аргументами функция помимо квадратного корня возвращает также фактор стабильности (но не невязку!) и оценку числа обусловленности результирующей матрицы Y.

Пример:

» S=[2.1.0;6,7.-2:3.4.0]; » e=sqrtm(S) 

е =

1.2586 0.2334 0.0688

1.6066 2.7006 -0.6043

0.5969 1.1055 0.7918