8. Примитивы, использующие сплайны — Spline

Примитивы, использующие сплайны — Spline

Подпакет Spline вместе с уже описанным подпакетом NumericalMath'SplineFit' (сплайновая регрессия) обеспечивает представление данных с помощью сплайна. В подпакете Spline определена единственная функция Spline [points, type], которая создает графический примитив, представляющий сплайн-кривую типа type (Cubic, Bezier или CompoziteBezier — см. описание подпакета NumericalMath'SplineFit').

Среди ее опций важно отметить следующие (как и ранее, приведены значения, используемые по умолчанию): SplineDots->None, SplinePoints->25, Max-Bend->10.0 и SplineDivision->20.0.

Рисунок 14.85 показывает задание массива из пяти точек на плоскости и соединение их отрезками прямых и кубическими сплайн-функциями. Хорошо видна аналогия сплайна с гибкой линейкой.

Сплайн-функции в данном случае применяются в порядке задания точек в списке pts. В этом случае возможно создание замкнутых линий (рис. 14.85 является наглядным примером этого).

Следует отметить, что хотя сплайн-аппроксимация дает хорошие результаты при умеренном числе точек, при малом их числе и неудачном выборе типа сплайнов результат может оказаться неудовлетворительным. Рисунок 14.86 иллюстрирует такую ситуацию.

Рисунок 14.87 показывает возможность построения сплайн-функции вместе с точками, через которые она проходит.

Рис. 14.85. Пример интерполяции пяти точек отрезками прямой и сплайнами

Рис. 14.86. Пример срыва сплайн-интерполяции точек

Рис. 14.87. Построение исходных точек и проходящей через них сплайн-функции

Создание поверхностей вращения — SurfaceOfRevolution

Одна из задач компьютерной графики — создание поверхностей вращения. Средства для этого дает подпакет SurfaceOfRevolution. Они представлены следующими функциями:

• SurfaceOfRevolution [f, {x, xmin, xmax} ] — строит поверхность, образованную вращением кривой, описанной функцией f, при изменении х от xmin до xmax, в плоскости ху;
• SurfaceOfRevolution [{fx, f у}, {t, tmin, tmax} ] — строит поверхность, образованную вращением кривой, описываемой параметрически заданной на плоскости функцией {f x, f у}, в плоскости xz при изменении параметра t от tmin до tmax;
• SurfaceOfRevolution[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}] — строит поверхность, образованную вращением кривой, описываемой параметрически заданной в пространстве функцией {fx, fy, fz}, в плоскости xz при изменении параметра t от tmin до tmax;
• SurfaceOfRevolution[f,{{x,xmin,xmax},{theta,thetamin,thetamax}}] — строит поверхность вращения кривой, описываемой функцией f, при угле theta, меняющимся от thetamin до thetamax.

Рисунок 14.88 дает простой пример построения поверхности, образованной линией cos(x) при изменении х от 0 до 4л, вращающейся вокруг оси xz. Построение задано функцией SurfaceOfRevolution [f, {x, xmin, xmax} ]. В этом случае линия вращается в пределах угла от 0 до 2-я, поэтому поверхность получается круговой.

Рис. 14.88. Фигура, образованная вращением линии cos(x)

Следующий пример показывает ту же фигуру (рис. 14.89) в другом положении. Это достигается сменой угла обзора с помощью опции viewVertical.

Рис. 14.89. Фигура рис. 14.88 в другом положении

Пример применения функции SurfaceOfRevolutibn [ {fx, fy}, {t, tmin, tmax) ] представлен на рис. 14.90. Формируется этакое декоративное яйцо на подставке. Заменив в определении функции Cos [u] на Sin [u], можно получить изображение рюмки.

Рис. 14.90. Построение декоративного яйца на подставке

Рисунок 14.91 демонстрирует возможность построения объемной фигуры с вырезами. Все, что для этого надо, — удачно выбрать диапазон изменения угла вращения. Если он будет от 0 до 2л, то фигура будет сплошной, не содержащей вырезов.

Рис. 14.91. Построение яйца с вырезом

Для управления положением оси вращения служат следующие опции:

• RevolutionAxis->{x, z } — задает поворот вокруг оси, соединяющей начало координат с точкой {х, z} в плоскости xz\
• RevolutionAxis-> {х, у, z} — задает поворот вокруг оси, соединяющей начало координат с точкой {х, у, z}.

Рисунок 14.92 иллюстрирует применение опции RevolutionAxis->{x, у, z }.

Следующая функция позволяет построить фигуру вращения, образующая линия которой задается массивом точек:

• ListSurfaceOfRevolution [ {point1,point2,...} ] — создает поверхность вращения, заданную массивом точек pointl, point2, ...;
• ListSurfaceOfRevolution[{point1,point2,...}, {theta,thetamin,thetamax}] — создает поверхность вращения, заданную массивом точек, при угле вращения theta от thetamin до thetamax.

Рисунок 14.93 показывает задание массива точек с помощью функции Table и фигуру вращения, полученную при использовании функции ListSurfaceOf-Revolution во второй форме.

Рис. 14.92. Управление положением оси вращения

Рис. 14.93. Пример построения фигуры вращения с образующей, заданной массивом точек

Что еще есть в пакете расширения Graphics

Помимо уже рассмотренных подпакетов пакет расширения Graphics содержит подпакеты ThreeScript и Common. Подпакет ThreeScript содержит функцию преобразования трехмерных графических объектов в программный код формата 3-Script, например:

<<Graphics 'ThreeScript'

obj = Graphics3D[Polygon[0,0,0, 0,1,0, 0,1,1]]

• GraphicsSD •

ThreeScript[ "object.ts", obj]

object.ts

!!object.ts

% Graphics3D objects

boundingbox

0 0 0

0 1 1

viewpoint

1.3 -2.399999999999999 2.

ambientlight

000

lightsources

1. 0. 1.

1 0 0

1. 1. 1.

0 1 0

0. 1. 1.

0 0 1

polygon

0 0 0

0 1 0

0 1 1

Подпакет Common содержит просто перечень системных символов (точнее, слов), которые приняты во всех подпакетах пакета Graphics. Вот этот список: Horizontal, MaxArrowLength, ScaleFactor, ScaleFunction и Vertical.

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

• Выполнять анимацию графиков различного типа.
• Управлять цветами графиков.
• Строить стрелки на графиках.
• Строить графики комплекснозначных функций.
• Строить объемные контурные графики.
• Строить графики с окраской внутренних областей.
• Строить графики специальных типов.
• Строить графики неявных функций.
• Выводить обозначения кривых — легенды.
• Строить графики с множеством объектов.
• Строить параметрические трехмерные графики.
• Представлять поля на плоскости и в пространстве.
• Строить объемные многогранники — полиэдры.
• Создавать графические формы.
• Работать с примитивами, использующими сплайны.
• Создавать поверхности вращения.