6. Гипергеометрические функции. Эллиптические интегралы и интегральные функции

Гипергеометрические функции

Класс гипергеометрических функций в системе Mathematica представлен следующими встроенными в ядро функциями:

• HypergeometricU [a, b, z] — конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометрическая функция U(a, b, z);
• Hypergeometric0Fl [a, z] — гипергеометрическая функция ₀ F ₁ , (; a; z);
• HypergeometriclFl [а, b, z] — вырожденная гипергеометрическая функция Куммера ₂ F ₁ (a; b; z);
• Hypergeometric2Fl [a, b, с, z] — гипергеометрическая функция F ₁ (a, b; c, z). Следующие примеры показывают вычисления гипергеометрических функций.

На рис. 6.8 представлены графики ряда гипергеометрических функций, перечисленных выше. 

Рис. 6.8. Графики гипергеометрических функций

Следует отметить, что число этих функций в ядре новых версий даже несколько сокращено по сравнению с предшествующими версиями. Убраны довольно редко используемые функции, в имени которых имеется слово Regularized.

Эллиптические интегралы и интегральные функции

В ядро системы Mathematica входят эллиптические функции и функции вычисления эллиптических интегралов:

• EllipticE [m] — полный эллиптический интеграл Е(т);
• EllipticE [phi, m] — эллиптический интеграл второго рода Е(Ф\т);
• EllipticExp [u, {a, b}] — обобщенный экспоненциал, связанный с эллиптической кривой у ² = х ³ + ах ² + bx,
• EllipticExpPrime [и, {а, Ь}] — производная по первому аргументу EllipticExp[u, {a, b}];
• Elliptic? [phi, m] — эллиптический интеграл первого рода Р(Ф\т);
• EllipticK[m] — полный эллиптический интеграл первого рода К(т)\
• EllipticLog [ {х, у}, {а, Ь}] — обобщенный логарифм, связанный ц эллиптической кривой у ² = л ³ + а х ² + b т,
• EllipticNomeQ [m] — возвращает значение q = Exp[-PiEllipticK[l - m]/EllipticK[m]];
• Elliptic?! [n, phi, m] — эллиптический интеграл третьего рода П(и; Ф\т);
• Elliptic?! [n, m] — полный эллиптический интеграл П(п|т);
• EllipticTheta [i, z, q] — эллиптическая тета-функция &.(z, q), где i = i, 2, 3 или 4;
• EllipticThetaC [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ _с (и, т);
• EllipticThetaD [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ _d (u, m);
• EllipticThetaN [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла $ _п (и, ^m ) ^;
• EllipticThetaPrime [i, z, q] — производная по второму аргументу эллиптической тета-функции в .(z, q), где i= I, 2, 3 или 4;
• EllipticThetaS [u, m] — эллиптическая тета-функция Невилла u _s (w, т);
• FresnelCfx] — интеграл Френеля С(х),
• FresnelS[x] — интеграл Френеля S(x);
• InverseJacobi** [v, m] — обратная эллиптическая функция Якоби с обобщенным названием **. Возможны следующие наименования для **: CD , CN, CS, DC, DN, DS, NC, ND, NS, SC, SD И SN;
• JacobiAmplitude [u, m] — амплитуда для эллиптических функций Якоби;
• Jacobian — опция для FindRoot; может применяться для указания якобиана системы функций, для которых ищется корень;
• Jacob!** [u, m] — эллиптическая функция Якоби с обобщенным именем **, которое может принимать значения CD, CN, CS, DC, DN, DS, NC, ND, NS, SC, SD и SN;
• JacobiSymbol [n, m] — символ Якоби от n и in;
• JacobiZeta [phi, m] — дзета-функция Якоби Z(Ф|m);
• WeierstrassP [u, g2, g3] — эллиптическая функция Вейерштрасса Р,
• WeierstrassPPrime [u, g2, g3] — производная эллиптической функции Вейерштрасса Р'по переменной и.

Приведем примеры использования некоторых из этих функций.

Эллиптические функции (интегралы) широко используются в оптических расчетах и в астрофизике. На рис. 6.9 показаны графики некоторых эллиптических функций.

Рисунок 6.10 показывает построение контурного графика на комплексной плоскости с параметрическим заданием функций, выраженных через функцию Якоби и эллиптические интегралы. Нетрудно заметить, что график описывает довольно сложную и специфическую поверхность, содержащую периодические пики и впадины.

Читателю рекомендуется просмотреть ряд других примеров на использование функций данного раздела (например, в справочной базе данных системы Mathematica).

Рис. 6.9. Графики некоторых эллиптических функций

Рис. 6.10. Контурный график с параметрическим заданием комбинированной функции, содержащей функцию Якоби и эллиптические интегралы