4. Гамма- и полигамма-функции

Гамма- и полигамма-функции

Широко используются гамма-функция и относящиеся к ней родственные функции:

• Gamma [ а ] — эйлерова гамма-функция;
• Gamma [ a, z] — неполная гамма-функция;
• Gamma [a, z 0, z 1 ] — обобщенная неполная гамма-функция Gamma (а, z 0) -Gamma(a,zl);
• GammaRegularized[a, z] — регуляризованная неполная гамма-функция
• (а,2)=Gamma(а,z)/Gamma(a);
• GammaRegularized[a, z0, zl] — обобщенная неполная гамма-функция Q(a,z0)-Q(a, zl);
• LogGamma [ z ] — логарифм эйлеровой гамма-функции;
• Pol у Gamma [ z ] — дигамма-функция \|/(z);
• Pol у Gamma [n, z] — n-я производная от дигамма-функции.

Приведем примеры вычисления этих функций.

Как видно из этих примеров, данный класс функций (как и многие другие) определен в общем случае для комплексного значения аргумента.

На рис. 6.5 представлены графики эйлеровой гамма-функции и неполной гамма-функции при вещественном аргументе. Поведение эйлеровой гамма-функции довольно сложно, особенно при отрицательных значениях аргумента — наблюдаются характерные разрывы функции с ее уходом в положительную и отрицательную бесконечность.

Рис. 6.5. Графики эйлеровой гамма-функции (сверху) и неполной гамма-функции (снизу)

Поведение эйлеровой гамма-функции в комплексной плоскости довольно интересно. На рис. 6.6 показан контурный график этой функции, отражающий ее поведение на комплексной плоскости в ограниченной области изменения действительной и мнимой частей аргумента.

Рис. 6.6. Контурный график эйлеровой гамма-функции на комплексной плоскости

Графики других гамма-функций пользователь может' построить и просмотреть самостоятельно.