2. Разложение функций в ряды

Разложение функций в ряды

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

Одна из широко распространенных математических задач представления данных — разложение заданной аналитической функции в степенной ряд Тейлора относительно некоторой узловой точки с абсциссой хО. Такой ряд нередко проще самой функции (в том смысле, что не требует вычисления даже элементарных функций и вычисляется с помощью только арифметических операций) и дает единообразное представление для разлагаемых функций в виде обычных степенных многочленов.

Большинство достаточно гладких функций, не имеющих разрывов в области р"аз-ложения, довольно точно воспроизводятся рядом Тейлора. Как правило, такие разложения достаточно просты в окрестностях узловой точки разложения.

Для разложения в ряд используются следующие функции системы Mathematical

• Series[f, {х, х0, п}]— выполняет разложение в степенной ряд функции f в окрестности точки х=х0 по степеням (х-х0) ^{^} n;
• Series [f, {х, х0, nх}, {у, у0, nу}] — последовательно ищет разложения в ряд сначала по переменной у, затем по х;
• SeriesCoef ficient [s,n] — возвращает коэффициент при переменной n-й степени ряда s;
• SeriesData [х, х0, {а0, al,...}, nmin, nmax, den] —представляет степенной ряд от переменной х в окрестности точки х0. Величины ai являются коэффициентами степенного ряда. Показатели степеней (х-х0) представлены величинами nmin/den, (nmin+1) /den, ..., nmax/den.

Суть разложения функции в степенной ряд хорошо видна из разложения обобщенной функции/(д:), представленного на рис. 5.1 (выходные ячейки имеют стандартный формат).

Рис. 5.1. Разложение в ряд обобщенной функции f(x)

В первом примере разложение идет относительно исходной точки х0=0, что соответствует упрощенному ряду Тейлора, часто называемому рядом Маклорена. Во втором случае разложение идет относительно исходной точки х0, отличной от нуля. Обычно такое разложение сложнее и дает большую остаточную погрешность.

В соответствии с принятой математической символикой эта погрешность обозначается как О [x] ⁱ с показателем степени, указывающим на порядок погрешности. Следует отметить, что разложение в ряд использует особый формат вывода, частью которого и является член остаточной погрешности. На рис. 5.2 показано разложение в ряд Тейлора для нескольких функций, причем вывод дан в стандартной форме.

Рис. 5.2. Примеры представления функций рядами

Нетрудно заметить, что не все функции разлагаются в ряд Тейлора системой . Mathematica. Например, не имеют разложения логарифм и квадратный корень — они возвращаются в исходном виде. А разложение факториала представлено через гамма- и полигамма-функции.

Удаление члена с остаточной погрешностью ряда

Из-за особого формата результаты разложения в ряд нельзя явно использовать для расчетов (например, для построения графика функции по данным ее разложения в ряд). Для устранения остаточного члена и получения приемлемых для расчетов выражений можно использовать функции Collect и Normal. Ниже показаны примеры применения этих функций:

Series[Sin[x],{х,0,7}]

x-x3/6+x5/120 -x7/5040+0[Xl 8

Collect[%,x]

x-x3/6+x5/120 -x7/5040

Normal[Series[Sin[x*y],{х,0,3},{у,0,3}] ]

xy-х3 у3/6

f [х_, у ] =xy-х3 у3/6

xy-х3 у3/6

f[0.1,0.2]

0.0199987

В данном случае результат представлен в формате стандартного вывода. Его можно использовать для создания функций пользователя, например, путем переноса через буфер обмена в правую часть такой функции. Это и показано в конце приведенных выше примеров. Разумеется, можно задать функцию пользователя и напрямую:

F[x_, у_] = Normal [Series [Sin[x* у] , {х, 0, 3), {у, 0, 3}]

xy-х3 у3/6

F[0.1, 0.2]

0.0199987

В Mathematica 3/4 преобразование результатов разложения в ряд в стандартные расчетные выражения несколько упрощено. Это позволяет ограничиться описанными выше (но вовсе не единственными) приемами.

Графическая визуализация разложения в ряд

Погрешность разложения в ряд возрастает с ростом отклонения от узловой точки. При больших отклонениях даже качественное описание функции может резко нарушаться — например, монотонно возрастающая функция при вычислении по разложению в ряд может убывать или даже стремиться к бесконечности. Для оценки того, насколько и в какой окрестности исходной точки разложение в ряд адекватно разлагаемой функции, полезно построить на одном рисунке график исходной функции и график выражения, соответствующего полученному ряду (без остаточной погрешности). Другими словами, нужна графическая визуализация разложения в ряд.

Пример графической визуализации разложения в ряд представлен на рис. 5.3. На нем, кстати, использовано описанное выше применение функции Collect для получения результата разложения в обычной форме, допускающей вычисления.

Рис. 5.3. Представление синусоидальной функции рядом Тейлора с графической иллюстрацией его точности

На рис. 5.3 представлены график синусоиды, построенной по аналитическому выражению, и график ее разложения в ряд Тейлора в окрестности точки х ₀ =2. Хорошо заметно расхождение за пределами области, примыкающей к оперной точке функции. Как отмечалось, погрешность уменьшается, если х0=0 (ряд Маклорена). К сожалению, при большом числе членов ряда его поведение становится трудно предсказуемым, и погрешность приближения катастрофически нарастает.