Специальные математические функции

Специальные математические функции обычно являются решениями линейных дифференциальных уравнений различного типа и выражаются в виде интегралов, не представимых через элементарные функции. Maple 7 имеет практически полный набор таких функций. Их представления можно найти в справочной литературе, а также в справочной базе данных Maple. В связи с этим ограничимся приведением названий наиболее важных специальных функций:

•  AiryAi (Bi) — функции Эйри;
• AngerJ — функция Ангера;
•  bernoulli — числа и полиномы Бернулли;
•  Bessel I (J, К, Y) — функции Бесселя разного рода;
•  Beta — бета-функция;
•  binomial — биноминальные коэффициенты;
•  Chi — интегральный гиперболический косинус;
•  Ci — интегральный косинус;
•  csgn — комплексная сигнум-функция;
•  dilog — дйлогарифм;
•  Dirac — дельта-функция Дирака;
•  Ei — экспоненциальный интеграл;
•  EllipticCE (CK, CPi, E, F, К, Modulus, Nome, Pi) — эллиптические интегралы;
•  erf — функция ошибок;
•  erfc — дополнительная функция ошибок;
•  euler — числа и полиномы Эйлера;
•  FresnelC (f, g, S) — интегралы Френеля;
•  GAMMA — гамма-функция;
•  GaussAGM — арифметико-геометрическое среднее Гаусса;
•  HankelHl (H2) — функции Ганкеля;
•  harmonic — частичная сумма серии гармоник;
•  Heaviside — функция Хевисайда;
•  JacobiAM (CN, CD, CS, ON, DC, DS, NC, NO, NS, SC, SO, SN) - эллиптические функции Якоби;
•  JacobiThetal (2, 3, 4) — дзета-функции Якоби;
•  JacobiZeta — зет^:функция Якоби;
•  KelvinBer (Bei, Her, Hei, Ker, Kei) — функции Кельвина;
•  Li — логарифмический интеграл;
•  1nGAMMA — логарифмическая гамма-функция;
•  MeijerG — G-функция Мейджера;
•  pochhammer — символ Похгамера;
•  polylog — полилогарифмическая функция;
•  Psi — дигамма-функция;
•  Shi — интегральный гиперболический синус;
•  Si — интегральный синус;
•  Ssi — синусный интеграл смещения;
•  StruveH (L) — функции Струве;
•  surd — неглавная корневая функция;
•  LambertW — W-функция Ламберта;
•  WeberE — Е-функция Вебера;
•  WeierstrassP — Р-функция Вейерштрасса;
•  WeierstrassPPrime — производная Р-функции Вейерштрасса;
•  WeierstrassZeta — зета-функция Вейерштрасса;
•  WeierstrassSigma — сигма-функция Вейерштрасса;
•  Zeta — зета-функция Римана и Гурвица.

Ввиду большого числа специальных функций и наличия множества примеров их вычисления в справочной системе Maple 7 ограничимся несколькими примерами вычисления наиболее распространенных специальных функций. По их подобию читатель может опробовать в работе и другие специальные функции.

На рис. 6.4 даны примеры применения ряда специальных функций. Обратите особое внимание на первый пример. Он показывает, как средствами системы Maple 7 задается определение функций Бесселя. Показано, что функции Бесселя являются решениями заданного на рис. 6.4 дифференциального уравнения второго порядка. Maple 7 способна вычислять производные и интегралы от специальных функций.

Рис. 6.4. Примеры применения специальных функций

Еще несколько примеров работы со специальными функциями представлены на рис.6.5. Как видно из приведенных примеров, на экране монитора можно получить математически ориентированное представление специальных функций, обычно более предпочтительное, чем представление на Maple-языке или в текстовом формате. Записи функций при этом выглядят как в обычной математической литературе.

Рис. 6.5. Примеры работы со специальными математическими функциями

На рис. 6.5 показаны примеры разложения специальных функций в ряды и применения функции convert для их преобразования.

Много информации о поведении специальных функций дает построение их графиков. На рис. 6.6 показано построение семейства графиков функций Бесселя BesselJ разного порядка и гамма-функции. Эти функции относятся к числу наиболее известных. Если читателя интересуют те или иные специальные функции, следует прежде всего построить и изучить их графики.

Подробное описание специальных функций можно найти в справочниках [43-45] и в справочной базе данных Maple 7.

Рис. 6.6. Графики функций Бесселя и гамма-функции