Глава 8. ПОВЕРХНОСТИ

 

§ 45. Образование поверхностей

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие т можно поменять местами, но при этом по верхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси г, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется

Рис. 84

Рис. 85

перемещением окружности т с центром в точке О, скользящим по оси i. Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси /'.

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.

В зависимости от формы образующей все поверхности можно разделить на линейчатые, у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые, у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности — неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Рис. 86

Рис. 87

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86). При проецировании поверхности Q на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются к этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l, которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П₁ — горизонтальный очерк, на П₂ — фронтальный очерк, на П₃ — профильный очерк поверхности. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые поверхности, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m₁ и m₂.

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

14. Какие линии характерны для поверхности вращения и какова их роль в построении изображений поверхности?

 

 

§ 46. Изображение плоскости на чертеже

Плоскость на чертеже может быть задана различными способами: тремя точками, не лежащими на одной прямой Q(A, В, С) (рис. 88, а);

прямой и точкой, не лежащей на одной прямой Q(aA; A не принадлежит а) (рис. 88, б);

Рис. 88

двумя пересекающимися прямыми Q(a || b) (рис. 88, в);

двумя параллельными прямыми Q(a ^ b) (рис. 88, г);

любой плоской фигурой, например, треугольником Q(ABC) (рис. 88, д).

Плоскости, заданные на чертеже одним из таких способов, не ограничиваются проекциями определяющих ее элементов.

Рассматривая комплексный чертеж плоскости, можно убедиться, что каждый из названных способов задания ее допускает возможность перехода от одного из них к другому.

 

 

§ 47. Расположение плоскости относительно плоскостей проекций. Взаимное расположение двух плоскостей

По расположению относительно плоскостей проекций плоскости делят на плоскости общего и частного положения.

К плоскостям общего положения относятся плоскости, непараллельные и неперпендикулярные ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (см. рис. 88) проекции элементов, которыми задана плоскость, как правило, занимают общее положение.

К плоскостям частного положения относятся плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Рис. 89

В свою очередь, плоскости частного положения делятся на проецирующие плоскости и плоскости уровня. К проецирующим плоскостям относятся плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Все проецирующие плоскости будем обозначать буквой Е. Проецирующие плоскости могут быть перпендикулярны П₁, П₂ или П₃. В зависимости от этого различают горизонтально проецирующие плоскости, когда Sum_|_ П₁ ; фронтально проецирующие плоскости, когда Sum_|_П₂; профильно проецирующие плоскости, когда Sum_|_П₃;

Проецирующая плоскость отличается тем, что проекция ее на плоскость проекций, ей перпендикулярную, всегда изображается в виде прямой линии и фигур, лежащих в проецирующей плоскости. Проекция плоскости, выраженной в прямой, вполне определяет положение плоскости относительно плоскостей проекций. Например, на рис. 89, а приведен комплексный чертеж плоскости I, заданной двумя параллельными прямыми. Из рисунка видно, что I (а \\ Ъ) является горизонтально проецирующей плоскостью и расположена под углом Р к фронтальной плоскости проекций и под углом у с фронтальной плоскостью проекций.

На рис. 89, б приведен комплексный чертеж плоскости Sum, составляющей угол а с горизонтальной плоскостью проекций и угол у с фронтальной плоскостью проекций. Это можно записать так: AВС ~ A₂ ~ Sum₂, B₂ ~ Sum₂, C₂ ~ Sum₂.

Наличие вырожденной проекции дает возможность задавать проецирующие плоскости на комплексном чертеже только одной проекцией. На рис. 89, в через точку А проведена профильно проецирующая плоскость (Sum_|_П₃) под углом а к П₁.

Все изображения, расположенные в заданной плоскости, на плоскости, не перпендикулярные ей, проецируются с искажением.

К плоскостям уровня относятся плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Их можно считать дважды проецирующими

Рис. 90

плоскостями, так как у них на комплексном чертеже две проекции имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линии связи, а третья проекция дает изображение всех элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину. Плоскости уровня обычно обозначаются: Г— горизонтальная плоскость уровня; Ф — фронтальная плоскость уровня; U — профильная

плоскость уровня. На рис. 90, а дан комплексный чертеж плоскости горизонтального уровня (Г || П₁); на рис. 90, б приведен комплексный чертеж плоскости фронтального уровня (Ф || П₂), Ф э АВС, А₂В₂С₂ — истинная величина треугольника ABC; на рис. 90, в показан комплексный чертеж профильно проецирующей плоскости (U || П₃, u аА; А ~ а).

Плоскости уровня отличаются тем, что на плоскости проекций, им перпендикулярную, они проецируются в прямую линию, на которой располагаются точки, прямые и фигуры, расположенные в плоскости уровня. Эти прямые являются вырожденными проекциями заданной плоскости. На плоскость проекций, параллельную заданной плоскости, все изображения этой плоскости проецируются без искажений, т. е. в натуральную величину.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться. Параллельными будут плоскости, если одна из них задана пересекающимися прямыми, параллельными пересекающимся, за-

Рис. 91

дающим вторую плоскость; на рис. 91 показаны параллельные плоскости: Sum (ахb) и Sum₂ (cxd), причем а || с, ab || d.

Если плоскости пересекаются, то линия их пересечения — прямая. Плоскости, перпендикулярные между собой, представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями составляет 90°.

Построение линий пересечения плоскостей рассматривается в §62.

 

 

§ 48. Особые линии в плоскости

К особым линиям в плоскости можно отнести линии, параллельные плоскости проекций. Их называют линиями уровня.

Линию, принадлежащую плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью плоскости (рис. 92, а). Построение горизонтали всегда начинают с ее фронтальной проекции: h(A₁ 1)~ Q(ABC);h₂ ~ A₂;h₂ _|_ A₂A_l;h₂ ^ B₂C₂ = l₂,l₂l₁ || A₂A₁.

Линию, принадлежащую плоскости и параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью плоскости (рис. 92, б). Построение фронтали начинают с горизонтальной проекции: f(F₁ 1) ~ ^(DFE); F₁~f₁, f₁,_|_F₁F₂; f1^D₁E₁=l₁; l₁l₂ || F₁F₂;

l₁l₂^D₂E₂=l₂^F₂=l₂.

Рассматривая особые линии в плоскостях частного положения, можно убедиться, что соответствующие линии уровня в этом случае будут и проецирующими.

На рис. 92, в показана горизонталь h фронтально проецирующей плоскости Sum. В данном случае она будет также фронтальной проецирующей прямой, т. е. h э Sum; Sum _|_ П₂.

Рис. 92

 

 

§ 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рис. 93 показана плоскость Sum (axb). Прямая l принадлежит плоскости Sum, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой пря-

Рис. 93

Рис. 94

мой, лежащей в этой плоскости. На рис. 93 прямая m || Sum, так как она параллельна прямой l, принадлежащей этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в §61.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рис. 94 показан комплексный чертеж плоскости Sum, заданной двумя параллельными прямыми l и п. В плоскости расположена линия m. Точка A лежит в плоскости Sum, так как она лежит на прямой m. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.

 

 

§ 50. Коническая и цилиндрическая поверхности

К коническим относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m. Особенностью образования конической поверхности является то, что

Рис. 95

Рис. 96

при этом одна точка образующей всегда неподвижна. Эта точка является вершиной конической поверхности (рис. 95, а). Определитель конической поверхности включает вершину S и направляющую m, при этом l'~S; l'^ m.

К цилиндрическим относятся поверхности, образованные прямой образующей /, перемещающейся по криволинейной направляющей т параллельно заданному направлению S (рис. 95, б). Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности с бесконечно удаленной вершиной S.

Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей т и направления S, образующих l, при этом l' || S; l' ^ m.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность называют проецирующей. На рис. 95, в показана горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность.

На цилиндрической и конической поверхностях заданные точки строят с помощью образующих, проходящих через них. Линии на поверхностях, например линия а на рис. 95, в или горизонтали h на рис. 95, а, б, строятся с помощью отдельных точек, принадлежащих этим линиям.

 

 

§ 51. Торсовые поверхности

Торсовой называется поверхность, образованная прямолинейной образующей l , касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называемой ребром возврата (рис. 96). Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмической частью служит указание касательности образующих к ребру возврата.

Коническая поверхность является частным случаем торса, у которого ребро возврата т выродилось в точку S— вершину конической поверхности. Цилиндрическая поверхность — частный случай торса, у которого ребро возврата — точка в бесконечности.

 

 

§ 52. Гранные поверхности

К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайни-

Рис. 97

Рис. 98

Рис. 99

ми относительно него положениями образующей l ) и ребро (линия пересечения смежных граней).

Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие и направляющие: l' ~ S;

l ^ т.

Определитель призматической поверхности, кроме направляющей т, содержит направление S, которому параллельны все образующие l поверхности: l||S; l^ т.

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр — куб (рис. 99, а), тетраэдр — правильный четырехугольник (рис. 99, 6) октаэдр — многогранник (рис. 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

Рис. 100

Рис. 101

При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.

Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.

 

 

§ 53. Винтовые поверхности

К винтовым относятся поверхности, создаваемые при винтовом движении прямолинейной образующей. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i; при этом образующая l пересекает винтовую ось под прямым углом (рис. 102, а). Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.

Наклонный геликоид образуется движением образующей по винтовой направляющей т и ее оси i так, что образующая l пересекает ось i под постоянным углом ф, отличным от прямого, т. е. в любом положении образующая l параллельна одной из образующих направляющего конуса с углом при вершине, равным 2ф(рис. 102, б). Наклонные геликоиды ограничивают поверхности витков резьбы.

Рис. 102

 

 

§ 54. Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор .определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П₁. В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h⁴.

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой — оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному

Рис. 103

Рис. 104

меридиану f, точка В — экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h'.

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) — вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) — вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет — цилиндр будет наклонным.

Рис. 105

Рис. 106

Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения — конус будет прямой, если нет — наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину — конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину — пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна — наклонная.

Выбирая соответствующее положение плоскостей обреза, можно получать различные формы геометрических фигур в зависимости от условий решаемой задачи.

 

 

§ 55. Точка и линия на поверхности

В общем случае линия может принадлежать поверхности или не принадлежать. Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности (см. рис. 103, линия l). Исключение составляет случай, когда линия представлена прямой, а поверхность — плоскостью. В этом случае для принадлежности прямой плоскости достаточно, чтобы хотя бы две точки ее принадлежали этой поверхности (см. § 49). Задачи построения линий, принадлежащих поверхности, входят составной частью в задачи построения линий пересечения поверхностей плоскостью и пересечения двух поверхностей, которые рассматриваются в §§ 63, 64.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой. Задачи такого типа рассматриваются в § 63.

Точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. На рис. 104, в точка М принадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности /г', лежащей на этой поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М на рис. 104, а), поверхности тора (точка М на рис. 105) и поверхности более сложной формы (точка М на рис. 103).

Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки — точка принадлежит поверхности, если не пройдет — не принадлежит.

Эту задачу можно рассмотреть на примере рис. 104, а. На комплексном чертеже задана коническая поверхность очерковыми линиями. Задана также точка М горизонтальной и фронтальной проекций. Через горизонтальную проекцию точки проведем горизонтальную проекцию h₁окружности, принадлежащей конической поверхности. Построив фронтальную проекцию h₂ этой окружности, убеждаемся, что она прошла через фронтальную проекцию точки. Это и подтверждает, что точка принадлежит конической поверхности.

Данная задача может быть решена и другим путем. При тех же исходных данных через фронтальную проекцию М₁ точки проводим проекцию одной из образующих f Построив горизонтальную проекцию h образующей, убеждаемся, что она прошла через горизонтальную проекцию М₁ точки М, и это позволяет сделать вывод о том, что точка М принадлежит конической поверхности.

Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и др., что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге — деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.