Кривая Безье

В качестве формулы, которая была бы достаточно простой (с точки зрения математика), универсальной (с точки зрения программиста) и геометрически наглядной (с точки зрения пользователя — художника или дизайнера), чаще всего используется упомянутая кривая Безье. На самом деле, это целое семейство кривых, из которых используется частный случай с кубической степенью, т. е. кривая третьего порядка, описываемая следующим параметрическим уравнением:

R (t)= P ₀ (1-t) ³ + P ₁ (1-t) ² + P ₂ t ² (1-t) + P ₃ t ³

^{где 0_< t _<1}

Общий вид элементарной кривой Безье представлен на рис. П2.1. Такую кривую можно построить, если известны координаты четырех точек, называемых контрольными.

Рис. П2.1 . Общий вид элементарной кривой Безье

Из четырех контрольных точек кривая проходит только через две, поэтому эти точки называются опорными — anchor points (иначе они именуются узлами (nodes), поскольку "связывают" элементарные кривые друг с другом, чтобы образовать единый сложный контур).

Две другие контрольные точки не лежат на кривой, но их расположение определяет кривизну кривой, поэтому эти точки иначе называются управляющими точками, а линии, соединяющие управляющую и опорную точки, — управляющими линиями (в просторечии именуются "рычагами").

Кривая Безье является гладкой кривой, т. е. она не имеет разрывов и непрерывно заполняет отрезок между начальной и конечной точками.

Кривая начинается в первой опорной точке, касаясь отрезка своей управляющей линии, и заканчивается в последней опорной точке, также касаясь отрезка своей управляющей линии. Это позволяет гладко соединять две кривые Безье друг с другом: управляющие линии располагаются вдоль одной прямой, которая является касательной к получившейся кривой (рис. П2.2).

Рис. П2.2. Гладкое соединение двух кривых Безье

Кривая лежит в выпуклой оболочке, создаваемой управляющими линиями (рис. П2.3). Это свидетельствует о стабильности ("благонравном поведении") кривой.

Кривая Безье симметрична, т. е. она сохраняет свою форму, если изменить направление вектора кривой на противоположное ("поменять местами" начальную и конечную опорные точки). Это свойство находит свое применение при создании составных контуров. Информацию об этом см. в главе 6.

Рис. П2.3. Выпуклая оболочка кривой Безье

Кривая Безье, используя математический язык, "аффинно инвариантна", т. е. она сохраняет свою форму при масштабировании (рис. П2.4). Это свойство является фундаментом свободы манипулирования объектами векторной графики.

 Рис. П2.4 . Масштабирование кривой Безье не изменяет ее формы

Если существует только две контрольных точки (опорных точки) или управляющие линии коллинеарны (лежат на одной прямой), кривая превращается в прямой отрезок.

Изменение положения хотя бы одной из контрольных точек ведет к изменению формы всей кривой Безье. Это свойство — источник бесконечного разнообразия форм векторных объектов.

Из множества таких элементарных кривых составляется контур произвольной формы и произвольной сложности (ограничения появляются в конкретных приложениях и конкретных технических системах).