Моделирование физических явлений

Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха

Вы хотите метнуть камень в огород вашего вредного соседа? Разумеется, во время его отсутствия. Давайте промоделируем эту ситуацию, предположив два актуальных случая: дело происходит на Луне и на Земле. В первом случае сопротивления воздуха (как и его самого) нет, а в другом — сопротивление воздуха есть и его надо учитывать. Иначе камень упадет в ваш огород, а не в огород соседа!

Итак, пусть подвернувшиеся под руку камни с массой 500 и 100 г брошены под углом 45° к горизонту со скоростью Vo = 20 м/с. Найдем их баллистические траектории, если сила сопротивления воздуха Fтр=А*V, где А=0,1 Н*с/м. Сравним их с траекториями, получающимися без учета сопротивления воздуха.

Начнем с подключения пакета plots, нужного для визуализации данной задачи:

> restart;

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

Составим параметрические уравнения для проекций скорости на оси координат:

> Vox:=Vo*cos(a1pha):Voy:=Vo*sin(alpha):

Vox:= Focos(a)

Voy :=Vo sin(a)

Мы рассматриваем два случая: камень массой 500 г и камень массой 100 г. Поскольку для каждого случая мы предусматриваем расчет в двух вариантах (с учетом сопротивления воздуха и без такого учета), то мы должны составить 4 системы дифференциальных уравнений (ДУ). Каждая система состоит из двух ДУ второго порядка и вид этих систем известен из курса физики. Ниже представлено задание этих систем ДУ (для первой системы дан вывод ее вида):

Зададим исходные числовые безразмерные данные для расчета:

Выполним решение заданных систем ДУ:

Создадим графические объекты — результаты решения систем ДУ:

Построим графики траекторий для первого случая:

Графики траекторий полета камня с массой 500 г представлены на рис. 17.6.

Рис. 17.6. Баллистические траектории камня с массой 500 г

Теперь построим графики траекторий для второго случая:

> display({a3,a4,t1},title='Tpaeкт. полета тела массой 100 г, labels=[x.у], labelfont=[TIMES.ROMAN,14]):

Они представлены на рис. 17.7.

Рис. 17.7. Баллистические траектории камня при массе 100 г

Из проведенных расчетов и графиков видно, что при учете силы сопротивления воздуха дальность и высота полета сильно уменьшаются по сравнению с полетом в вакууме, и эта разница зависит от массы тела, поэтому при небольшой массе тела сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя.