Аппроксимация Чебышева-Паде

Теперь рассмотрим еще более точную рациональную аппроксимацию Чебышева-Паде. Это такая рациональная функция r[m, n](х) с числителем степени т и знаменателем степени п такой же, как и для разложения в ряд Чебышева. Функция r [m, n](х) согласуется с разложением в ряд Чебышева f(x) членом степени m+n. Мы вычислим аппроксимацию Чебышева-Паде степени (4,4), подобную обычной Паде- аппроксимации, успешно выполненной ранее:

 Построим кривую ошибок:

> with(orthopoly, Т):

> plot(F = ChebPadeApprox, 0..4,color=black):

Она представлена на рис. 17.4.

Максимальная ошибка и на этот раз имеет место в левой оконечной точке. Величина максимальной ошибки несколько меньше, чем ошибка при аппроксимации рядом Чебышева. Главное преимущество представления в виде рациональной функции — высокая эффективность вычислений, которая может быть достигнута преобразованием в непрерывную (цепную) дробь (см. ниже). Однако полученная максимальная ошибка чуть-чуть больше заданной:

Рис. 17.4. Кривая ошибки при Паде-Чебышева рациональной аппроксимации

> maxChebPadeError :=abs( F(0) - ChebPadeApprox(O) );

maxChebPadeError= .1236746 10^-5

Мы достигли впечатляющего успеха и остается сделать еще один шаг в направлении повышения точности аппроксимации.