Пример анализа сложной функции

Ниже мы рассмотрим типичный анализ достаточно «сложной» функции, имеющей в интересующем нас интервале изменения аргумента х от -4 до 4, нули, максимумы и минимумы. Определение функции f(x), ее графики и график производной dF(x)/dx даны на рис. 9.2. Этот рисунок является началом полного документа, описываемого далее, i

Функция F(x) на первый взгляд имеет не совсем обычное поведение вблизи начала координат (точки с х =у = 0). Для выяснения такого поведения разумно построить график функции при малых х и у. Он также представлен на рис. 9.2 (нижний график) и наглядно показывает, что экстремум вблизи точки (0, 0) является обычным минимумом, немного смещенным вниз и влево от начала координат. Теперь перейдем к анализу функции F(x). Для поиска нулей функции (точек пересечения оси х) удобно использовать функцию f sol ve, поскольку она позволяет задавать область изменениях, внутри которой находится корень. Как видно из приведенных ниже примеров, анализ корней F(x) не вызвал никаких трудностей, и все корни были уточнены сразу: Поиск нулей функции 

> fsolve(F(x),x,-2...-l):

-1.462069476 > fso1ve(F(x),x,-.01..0.01);

0. 

> fsolve(F(x).x.-.05..0);

-.02566109292 

> fsolve(F(x),x,1..2);

1.710986355 

> fsolve(F(x),x,2.5..3):

2.714104921

Нетрудно заметить, что функция имеет два очень близких (но различных) корня прих, близких к нулю.

Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и сингулярных точек реализуется следующим образом:

Анализ функции на непрерывность, наличие ее нарушений и наличие сингулярных точек

Рис. 9.2. Задание функции F(x) и построение графиков функции и ее производной

Этот анализ не выявляет у заданной функции каких-либо особенностей. Однако это не является поводом для благодушия — попытка найти экстремумы F(x) с помощью функции extrema и минимумы с помощью функции minimize завершаются полным крахом:

Неудачный поиск экстремумов и минимумов функции 

>extrema(F(x).{},x, 's');s;

>minimize(F(x),x=-.l...l);

minimize (.05x + xe (-|x|) * sm(2x),x = -.1 .. 1)

>minimize(F(x),x=-2.5..:2);S

minimize (.05x + xe(-|x|) sin(2*),*'=-2.5 ..-2)

Приходится признать, что в данном случае система Maple 7 ведет себя далеко не самым лучшим образом. Чтобы довести анализ F(x) до конца, придется вспомнить, что у функции без особенностей максимумы и минимумы наблюдаются в точках, где производная меняет знак и проходит Через нулевое значение. Таким образом, мы можем найти минимумы и максимумы по критерию равенства производной нулю. В данном случае это приводит к успеху:

Поиск минимумов по критерию равенства нулю производной

 > fso1ve(d1ff(F(x),x)=0,x,-.5...5);

-.01274428224 

>xm:=%;

хт:= -.0003165288799 

>[F(xm),F(xnn-.001),F(xm-.001)]:

[-.00001562612637, .00003510718293, -.00006236451216]

>fsolve(diff(F(x),x)-0.x,-2.5..-2);

-2.271212360 ' 

>fso1ve(diff(F(x),x)=0,x.2..2.5):

2.175344371 

Неудачный поиск максимума 

>maximize(F(x) ,x--l.. - .5);

maximize(.05х + хе (-|x|) * sin(2x),x = -l .. -.5) 

Поиск максимумов по критерию равенства нулю производной 

>fso1ve(diff(F(x).x),x,-l..-.5);

-.8094838517

 >fso1ve(diff(F(x),x),x..5..2):

.8602002115 

>fsolve(diff(F(x),x),x.-4..-3);

-3.629879137

>fsolve(diff(F(x),x).x,3..4); 

3.899664536

Итак, все основные особые точки данной функции (нули, минимумы и максимумы) найдены, хотя и не без трудностей и не всегда с применением специально предназначенных для такого поиска функций. В уроке 12 будет описана процедура, которая автоматизирует процесс анализа не очень сложных функций и обеспечивает его наглядную визуализацию.