Поиск минимумов и максимумов аналитических функций

Часто нужно найти минимум или максимум заданной функции. Для поиска минимумов и максимумов выражений (функций) ехрr служат функции стандартной библиотеки:

minimize(expr, optl, opt2, .... optn)

  maximize(expr, optl. opt2. .... optn)

Эти функции могут разыскивать максимумы и минимумы для функций как одной, так и нескольких переменных. С помощью опций optl, opt2,..., optn можно указывать дополнительные данные для поиска. Например, параметр `infinity` означает, что поиск минимума или максимума выполняется по всей числовой оси, а параметр location (или locatiorrtrue) дает расширенный вывод результатов поиска — выдается не только значение минимума (или максимума), но и значения переменных в этой точке.

Примеры применения функции minimize приведены ниже:

Приведем подобные примеры и для функции поиска максимума — maximize:

Обратите внимание на то, что в предпоследнем примере Maple 7 явно «оскандалилась» и вместо максимума функции sin(x)/x, равного 1 при х=0, выдал результат в виде бесконечности. Другими словами, система обнаружила, что в данном случае ей незнакомо понятие предела sin(x)/x  при х—>0. Эта ситуация кажется более чем странной, если учесть, что в этом примере Maple 6 давал правильный результат.

Применим функцию minimize для поиска минимума функции Розенброка. Рисунок 9.1 показывает, что minimize прекрасно справляется с данной задачей. На рис. 9.1 представлено также построение функции Розенброка, хорошо иллюстрирующее ее особенности.

Рис. 9.1. Поиск минимума функции Розенброка и построение ее графика

Трудность поиска минимума функции Розенброка связана с ее характерными особенностями. Из рис. 9.1 видно, что эта функция представляет собой поверхность типа «глубокого оврага с почти плоским дном», в котором и расположена точка минимума. Такая особенность этой функции существенно затрудняет поиск минимума. То, что система Maple 7 справляется с данной тестовой функцией, вовсе не означает, что трудности в поиске минимума или максимума других функций остаются позади.