Систему Mathematica можно использовать как калькулятор: Вы вводите задание и получаете результат.

Пример простейшего вычисления. Нажатие клавиш Shift-Enter является приказом системе Mathematica вычислить введенное выражение.    

6^20

3656158440062976

Mathematica автоматически обрабатывает числа любого размера.

6^200

42682522381202740079697489151877373234298874535448942\ 94954790789351129295496197390190721393407570972968128\ 15466676129830954465240517595242384015591919845376

Вы можете работать в стандартной математической форме записи, используя палитры или специальные сочетания клавиш. Подробнее эти возможности будут описаны ниже.

6200

42682522381202740079697489151877373234298874535448942\ 94954790789351129295496197390190721393407570972968128\ 15466676129830954465240517595242384015591919845376

Вычисление собственных значений матрицы.

Важной особенностью системы Mathematica является ее способность так же легко оперировать с символьными преобразованиями, как и с численными вычислениями.

Решение уравнения в системе Mathematica. Корни уравнения есть функции зависящие от параметра.

Вычисление интеграла в системе Mathematica.

Вы можете использовать систему Mathematica для построения двумерных и трехмерных графиков функций.

Двумерный график простой функции.

Plot[Sin[x]+Sin[1.6x],{x,0,40}]

-Graphics-

Трехмерный график функции. Пробел между  x и y эквивалентен символу умножения. Опция PlotPoints->30 задает количество ячеек сетки.

Plot3D[Sin[x y],{x,0,4},{y,0,4},PlotPoints->30]

-SurfaceGraphics- 

Вы можете воспользоваться большим количеством вычислительных возможностей системы Mathematica простым нажатием одной из кнопок в стандартных палитрах.

Система Mathematica дает Вам в руки огромную вычислительную мощь, оставаясь при этом такой же простой в использовании как и калькулятор.

Эта команда генерирует матрицу размера 100x100, состоящую из случайных чисел. Точка с запятой в конце команды запрещает системе Mathematica вывод матрицы на экран.

m=Table[Random[ ],{100},{100}];

На большинстве компьютеров система Mathematica затрачивает меньше секунды на вычисление всех собственных значений этой матрицы и представление их модулей в виде графика.

ListPlot[Abs[Eigenvalues[m]]]

-Graphics-

Mathematica может оперировать с числами любого размера. На большинстве компьютеров вычисление точного значения 1000! в системе Mathematica занимает менее секунды.

1000!

 40238726007709377354370243392300398571937486421071463\ 25437999104299385123986290205920442084869694048004799\ 88610197196058631666872994808558901323829669944590997\ 42450408707375991882362772718873251977950595099527612\ 08749754624970436014182780946464962910563938874378864\ 87337119181045825783647849977012476632889835955735432\ 51318532395846307555740911426241747434934755342864657\ 66116677973966688202912073791438537195882498081268678\ 38374559731746136085379534524221586593201928090878297\ 30843139284440328123155861103697680135730421616874760\ 96758713483120254785893207671691324484262361314125087\ 80208000261683151027341827977704784635868170164365024\ 15369139828126481021309276124489635992870511496497541\ 99093422215668325720808213331861168115536158365469840\ 46708975602900950537616475847728421889679646244945160\ 76535340819890138544248798495995331910172335555660213\ 94503997362807501378376153071277619268490343526252000\ 15888535147331611702103968175921510907788019393178114\ 19454525722386554146106289218796022383897147608850627\ 68629671466746975629112340824392081601537808898939645\ 18263243671616762179168909779911903754031274622289988\ 00519544441428201218736174599264295658174662830295557\ 02990243241531816172104658320367869061172601587835207\ 51516284225540265170483304226143974286933061690897968\ 48259012545832716822645806652676995865268227280707578\ 13918581788896522081643483448259932660433676601769996\ 12831860788386150279465955131156552036093988180612138\ 55860030143569452722420634463179746059468257310379008\ 40244324384656572450144028218852524709351906209290231\ 36493273497565513958720559654228749774011413346962715\ 42284586237738753823048386568897646192738381490014076\ 73104466402598994902222217659043399018860185665264850\ 61799702356193897017860040811889729918311021171229845\ 90164192106888438712185564612496079872290851929681937\ 23886426148396573822911231250241866493531439701374285\ 31926649875337218940694281434118520158014123344828015\ 05139969429015348307764456909907315243327828826986460\ 27898643211390835062170950025973898635542771967428222\ 48757586765752344220207573630569498825087968928162753\ 84886339690995982628095612145099487170124451646126037\ 90293091208890869420285106401821543994571568059418727\ 48998094254742173582401063677404595741785160829230135\ 35808184009699637252423056085590370062427124341690900\ 41536901059339838357779394109700277534720000000000000\ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 000000000000000000000000

Mathematica способна проводить вычисления с любой заданной точностью. Здесь приведено значение числа pi, вычисленное с 500 знаками.

 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510\ 5820974944592307816406286208998628034825342117067982\ 1480865132823066470938446095505822317253594081284811\ 1745028410270193852110555964462294895493038196442881\ 0975665933446128475648233786783165271201909145648566\ 9234603486104543266482133936072602491412737245870066\ 0631558817488152092096282925409171536436789259036001\ 1330530548820466521384146951941511609433057270365759\ 5919530921861173819326117931051185480744623799627495\ 673518857527248912279381830119491

Mathematica  легко справляется с алгебраическими преобразованиями, которые заняли бы годы ручной работы.

Разложение полинома на множители.

Factor[x99 + y99]

Система Mathematica использует изощренные алгоритмы для упрощения выражений. Здесь % заменяет собой результат предыдущего вычисления.

Simplify[%]

x99 + y99

Во многих видах вычислений система Mathematica является мировым рекордсменом по скорости.

В качестве примера здесь приведено одно вычисление из теории чисел; при больших значениях аргумента это вычисление было впервые выполнено в системе Mathematica всего за несколько минут.

PartitionsP[8000]

 783602643515683494905931450133645997190107693529858\ 6433111860020941782776452445099\

0388402844164

Mathematica автоматически выбирает соответствующие алгоритмы для каждого вычисления.

FindRoot[Cos[x]==x+Log[x],{x,1}]

{x->0.840619}

NIntegrate[Log[x+Sin[x]],{x,0,2}]

0.555889

NSolve[x^5-6x^3+8x+1==0,x]

{{x->-2.05411},{x->-1.2915},{x->-0.126515}, {x->1.55053},{x->1.9216}}

Mathematica использует современные алгоритмы для разложения на множители целых чисел. Результат приведен в виде списка   сомножителей  и соответствующих показателей степеней.

FactorInteger[2^105-1]

{{7,2},{31,1},{71,1},{127,1},{151,1},{337,1}, {29191,1},{106681,1},{122921,1},{152041,1}}

Эта команда генерирует двумерную таблицу.

m=Table[2^i + x^j,{i,3},{j,4}] 

{{2+x,2+x2,2+x3,2+x4},{4+x,4+x2,4+x3,4+x4}, {8+x,8+x2,8+x3,8+x4}}

Представление таблицы в форме матрицы.

MatrixForm[m]

Вычисление ядра матрицы.

NullSpace[m]

{{x+x2,-1-x-x2,0,1},{x,-1-x,1,0}}

Mathematica может решать дифференциальные уравнения как численно, так и в аналитической форме.

Ниже Mathematica численно решает нелинейное дифференциальное уравнение. Ответ - интерполяционная функция, которая представляет решение в неявной форме.

NDSolve[{x''[t]+x[t]^3==Sin[t],x[0]==x'[0]==0},x, {t,0,50}]

{{x->InterpolatingFunction[{{0.,50.}},<>]}}

Параметрический график решения. Команда /. означает, что Mathematica должна подставить предыдущее решение вместо x[t].

ParametricPlot[Evaluate[{x[t],x'[t]}/.%],{t,0,50}]

-Graphics- 

Система Mathematica объединяет в себе запас мировых математических знаний, накопленных в справочной литературе, и использует свои собственные революционные алгоритмы, чтобы развивать эти знания.

Mathematica осведомлена о сотнях специальных функций, используемых в чистой и прикладной математике.

LegendreQ[3, x]

Система Mathematica может вычислять значения специальных функций с любыми параметрами и с любой точностью.

N[MathieuC[1+I,2 I,3],40]

 3.92513113741251986434976461681583792036+1. 898823911543347241105274797143911577679 I

Система Mathematica способна взять значительно больше интегралов, чем когда-либо было возможно для людей или компьютеров.

Система Mathematica может вычислять также конечные и бесконечные суммы и произведения.

Большое количество подобных примеров содержится в демонстрационном документе Интегралы, суммы и произведения из раздела  Демонстрация возможностей системы  Mathematica 3.0.

Mathematica может решать широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

DSolve[y''[x]+y'[x]+x y[x]==0, y[x], x]

Встроенные алгоритмы системы Математика способны справиться с широким спектром  математических задач.

True

TrigReduce[Cos[x]4]

Нахождение миллиардного простого числа при совместном использовании встроенных таблиц и алгоритмов.

Prime[109]

22801763489

Возможность манипулировать различными формулами и их фрагментами позволяет Вам легко интегрировать любые части вычислений.

Вычисление собственных чисел матрицы.

Eigenvalues[{{3, 1}, {2, 6}}]

Система  Mathematica способна  вычислять собственные значения даже тогда, когда элементы матрицы являются символьными параметрами. В результате получается компактное представление собственных чисел для любого значения b.

v = Eigenvalues[{{3, 1}, {2, b}}]

Встроенные функции системы  Mathematica   разработаны так, чтобы любые результаты выполнения предыдущих операций могли быть легко использованы как исходные данные для последующих.

Использование предыдущего результата для построения графиков функций, задающих собственные значения, в зависимости от параметра.

Plot[Evaluate[v], {b, -10, 10}]

-Graphics- 

Вы можете найти значение b, при котором первое собственное значение равно нулю...

Solve[First[v] == 0, b]

или найти интеграл от 0 до с от функции, задающей первое собственное значение.

Теперь можно найти  частичную сумму ряда Тейлора функции, являющейся результатом предыдущего интегрирования.

Series[%, {c, 0, 5}]

Численное нахождение корня уравнения на заданном отрезке.

FindRoot[int==1+c,{c,1}]

{c->-0.554408}

Простота работаты с формулами также важна при обработке данных.

Создание списка первых сорока простых чисел.

Table[Prime[i], {i, 40}]

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61, 67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137, 139,149,151,157,163,167,173}

Приближение аппроксимирующей функцией.

Fit[%, {Log[x],x,x2}, x]

3.91287769352273429 x+0.0244902554054522703 x2-5.98809188219891908 Log[x]

Вычисление суммы первых сорока простых чисел с применением аппроксимирующей функции.

Sum[%, {x, 1, 40}]

3090.16

Тот же результат, полученный точно.

Sum[Prime[i],{i,1,40}]

3087

Следующая команда объединяет в себе предыдущие и строит график разности между точными и приближенными значениями сумм простых чисел в зависимости от количества слагаемых.

-Graphics- 

Система Mathematica позволяет импортировать данные в любом формате и манипулировать ими, используя разнообразные мощные встроенные функции.

Чтение данных из файла image.dat. Точка с запятой после команды запрещает системе Mathematica выводить данные на экран.

data=ReadList["image.dat",Number,RecordLists->True];

Визуализация данных в виде  графика плотности.

ListDensityPlot[data,Mesh->False, FrameTicks->None];

Вы можете применять к данным любую функцию системы Mathematica.

ListDensityPlot[Exp[Sqrt[data]],Mesh->False, FrameTicks->None,ColorFunction->Hue];

Здесь осуществлен последовательный сдвиг данных вправо.

ListDensityPlot[MapIndexed[RotateRight,data], Mesh->False,FrameTicks->None,

ColorFunction->Hue];

Представление данных в виде контурного графика.

ListContourPlot[data,ContourShading->False, Contours->6,FrameTicks->None];

График плотности данных с сохранивших только несколько Фурье-компонент.

ListDensityPlot[Re[InverseFourier[ MapIndexed[If[Max[#2]<60,#,0]&,Fourier[data],{2}]]], Mesh->False,FrameTicks->None];

Распределение градаций серого в данных.

ListPlot[Sort[Flatten[data]]];

Представление данных в виде трехмерного графика.

ListPlot3D[data,ColorFunction->Hue,Mesh->False, ViewPoint->{0.2,-2,5}];

Mathematica может оперировать не только с числами, но и с данными любого типа.

Считывание всех элементов словаря.

data=ReadList["dictionary.dat",String];

Выбор первых 40 слов в словаре.

Take[data,40]

 {"a","AAA","AAAS","Aarhus","Aaron","ABA","Ababa", "aback","abacus","abalone","abandon","abase","abash", "abate","abbas","abbe","abbey","abbot","Abbott", "abbreviate","abc","abdicate","abdomen","abdominal", "abduct","Abe","abed","Abel","Abelian","Abelson", "Aberdeen","Abernathy","aberrant","aberrate", "abet","abetted","abetting","abeyance","abeyant", "abhorred"}

Выбор слов, которые являются палиндромами и содержат более двух букв.

Select[data,(#==StringReverse[#] && StringLength[#]>2)&]

 {"AAA","ABA","ala","AMA","ana","bib","bob","bub","CDC", "civic","dad","deed","did","DOD","dud","eke","ere", "eve","ewe","eye","gag","gig","gog","huh","iii", "level","madam","minim","mum","non","noon","nun","pap", "PDP","peep","pep","pip","poop","pop","pup","radar", "refer","rever","rotor","sis","s's","tat","teet", "tenet","tit","TNT","toot","tot","wow"}

Эта команда находит длины всех слов в словаре.

wordLengths=Map[StringLength,data];

Подсчет общего числа слов равной длины.

Table[Count[wordLengths,i],{i,Max[wordLengths]}]

{26,131,775,2152,3093,3793,3929,3484,2969,1883,1052, 542,260,102,39,15,6,4,0,1,2,1}

График распределения количества слов в словаре по длинам.

ListPlot[%,PlotStyle->PointSize[0.02]];

Mathematica позволяет легко создавать изумительные мультимедийные эффекты.

Трехмерный параметрический график с автоматическим выбором большинства опций.

-Graphics3D-

Тот же график с заданием ряда специфических опций.

-Graphics3D-

Mathematica включает в себя графические примитивы, при помощи которых Вы можете создавать двумерную и трехмерную графику любой сложности.

Эта команда генерирует длинный список графических примитивов, изображающих точку.

Здесь из списка выбирается пять элементов.

Take[%,5]

График, соответствующий списку примитивов.

Show[Graphics[gr, Frame-> True]]

-Graphics- 

Создание списка трехмерных примитивов, изображающих куб.

gr=Flatten[Table[If[Mod[Multinomial[x,y,z],2]==1,                 Cuboid[1.2{x,y,-z}],{}],{x,0,15}, {y,0,15},{z,0,15}]];

Выбор первых пяти элементов в списке.

Take[%,5]

{Cuboid[{0,0,0}], Cuboid[{0,0,-1.2}], Cuboid[{0,0,-2.4}] ,Cuboid[{0,0,-3.6}], Cuboid[{0,0,-4.8}]}

Эта команда рисует график, соответствующий списку примитивов.

Show[Graphics3D[gr]]

- Graphics3D -

Mathematica позволяет создавать не только статичную, но и анимированную графику.

Чтобы увидеть анимацию, щелкните мышью по графику.

Это еще один пример анимации.

Mathematica также дает Вам возможность генерировать звук.

Эта  команда производит звук с заданной формой волны.

-Sound-

Система Mathematica сделала возможным создание многих новых видов научных, технических и художественных изображений.

Каждый рабочий документ системы Mathematica является полностью интерактивным и объединяет текст, таблицы, графику, математическую символику  и другие элементы.

• Документы типа notebook автоматически организованны в виде иерархии ячеек.
• Вы можете сворачивать группы ячеек, оставляя на виду только их заголовки.
• Вы можете использовать гиперссылки как для переходов внутри документа, так и для связи с другими документами.
• Каждой ячейке может быть приписан свой стиль из встроенной коллекции стилей.
• Документы остаются неизменными при выводе как на экран, так и на принтер, так как система Mathematica в каждом случае автоматически подбирает шрифты и компоновку документа.
• Система Mathematica содержит сотни управляющих параметров, которые позволяют Вам придавать документам типа notebook  любой вид и создавать документы типографского качества.

Это обычный текст. Он может быть набран любым шрифтом и иметь любую форму, размер, цвет и т.д. Вы можете также вставлять в текст специальные символы типа , а  также  формулы .

Система Mathematica упрощает создание таблиц и массивов.

Mathematica позволяет легко выравнивать и позиционировать текст.

Подобно другим объектам в системе Mathematica ячейки в документе типа notebook и весь документ в целом в конечном счете - набор команд языка системы Mathematica. Используя стандартный интерфейс системы, Вы можете при помощи команды  Show Expression увидеть внутреннее представление любой ячейки документа.

Язык системы Mathematica может применяться, чтобы точно определить все параметры документа.

Пример типичной ячейки в документе системы Mathematica.

Это внутреннее представление ячейки.

Cell["Это пример ячейки в документе notebook.", "Text",   CellFrame->True,   FontWeight->"Bold",   FontSlant->"Italic",   Background->RGBColor[0, 1, 1],   CellTags->"T.8"]

Построение документа типа notebook в системе Mathematica может быть выполнено как в интерактивном режиме при помощи интерфейса, так и путем отдания явных команд.

Эта команда, создающая три ячейки в стиле заголовка подраздела.

Do[StylePrint[StringJoin["Заголовок", ToString[i]], "Subsubsection"],{i,3}] 

Заголовок 1

Заголовок 2

Заголовок 3

Палитры и кнопки реализуют простой и полностью настраиваемый "мышиный" (point-and-click) интерфейс системы Mathematica.

Mathematica поставляется с несколькими стандартными палитрами.

Это часть палитры

Палитры являются расширением Вашей клавиатуры.

Если в такой палитре нажать кнопку , то символ вставится в ноутбук.

В палитре символ   означает позицию, в которую нужно вставить какое-либо выражение.

Нажатие кнопки вносит выделенное выражение под знак радикала.

Создать свою собственную палитру очень легко.

С помощью команды Create Table/Matrix/Palette в меню Input можно сделать свою палитру.

Можно создавать свои палитры для ввода любой функции или оператора

При нажатии этой кнопки выделенное выражение разлагается на множители.

Документы системы Mathematica типа notebook полностью поддерживают стандартную математическую систему обозначений как для ввода выражений, так и для вывода результатов.

Mathematica объединяет компактность математической системы обозначений с точностью машинного языка.

Ввод интеграла с использованием только обычных символов  клавиатуры.

Integrate[Log[1+x]/Sqrt[x],x]

Тот же самый интеграл, введенный в естественной форме. Ввод в такой форме осуществляется с помощью палитр или непосредственно с клавиатуры.

Mathematica всегда позволяет Вам отредактировать полученный результат и использовать его снова  как исходное выражение.

Система Mathematica может выводить результат в традиционном для математической литературе виде. Следует учесть, что запись в стандартной форме (StandardForm) абсолютно точна и однозначна, в то время как традиционная форма требует некоторой эвристики для интерпретации.

Вычисление интеграла и вывод результата в традиционной форме (TraditionalForm).

Mathematica способна создавать высококачественные формулы любой сложности и величины.

Большое количество математических формул, созданных в системе Mathematica, содержится в Галерее формул из раздела Демонстрация возможностей системы Mathematica 3.0.

Система Mathematica легко работает с абстрактной системой обозначений.

Система Mathematica поддерживает свыше 700 специальных символов посредством своих новых шрифтов, оптимизированных как для печати, так и для вывода на дисплей.

Mathematica работает на всех основных типах компьютерных систем и позволяет Вам обмениваться данными во многих стандартных форматах.

Стандартная система Mathematica состоит из двух частей:

Ядро, которое фактически выполняет все вычисления.     Интерфейс, который обеспечивает взаимодействие пользователя и системы.

Документы типа notebook системы Mathematica полностью совместимы  со всеми   компьютерными системами.

Работая с одним документом  notebook, Вы можете запускать несколько копий ядра системы Mathematica, причем как на локальном, так и на удаленных компьютерах.

Документы типа notebook системы Mathematica  позволяют импортировать и экспортировать данные во многих форматах.

Вы можете экспортировать графику и формулы в другие программам в форматах EPS, GIF  и т.д., а затем манипулировать с ними.

Документы notebook системы Mathematica могут целиком экспортироваться в форматы HTML, TEX и RTF.

Документы типа notebook являются чисто текстовыми и полностью переносимы.

Выбор пункта Show Expression в меню Format позволяет увидеть текстовую форму выражений документа.

Это  типичная ячейка в документе типа notebook

А это - то, что Вы получите, когда   копируете интеграл во внешнее текстовое приложение типа программы работы с электронной почтой.

\!\(\[Integral]\(Log[1 + \[Xi]]\/\@\[Xi]\)\ [DifferentialD]\[Xi]\)

Mathematica использует стандарт Unicode, чтобы обеспечить переносимость наборов интернациональных символов.

Система Mathematica имеет свои, независимые от операционной системы, функции для управления файлами.

Вывод списка всех файлов типа notebook в Вашем корневом каталоге.

files=FileNames["*.nb", $HomeDirectory]

Mathematica построена на постулировании того, что все объекты могут быть представлены как символические выражения.

Все символьные выражения записываются в единой форме head[arg1, arg2, ...].

Список элементов.

{a,b,c}

List[a,b,c]

Алгебраическое выражение.

Plus[Power[x,2],Sqrt[x]]

Уравнение.

x==Sin[x]

Equal[x,Sin[x]]

Логическое выражение.

p&&!q

And[p,Not[q]]

Команда.

AddTo[Part[m,1],a]

Графика.

Graphics[{Circle[{1,0},2],Circle[{-1,0},2]}]

Абстрактная математическая запись.

Tilde[CirclePlus[a,b], Subscript[c,Infinity]]

Кнопка.

ButtonBox["Press here"]

Ячейка в документе системы Mathematica, содержащая текст.

A cell containing text

Cell["A cell containing text","Text"]

Единая форма записи символических выражений дает возможность вводить в системе Mathematica любую конструкцию, которая Вам необходима.

Химическая формула.

Chemical[{Hydrogen,1},{Nitrogen,1},{Oxygen,3}]

Электрическая цепь.

Circuit[{Resistor["R"],Capacitor["C"]}]

Все операции в системе Mathematica в конечном счете - преобразования символических выражений. Mathematica имеет уникальную возможность работы с шаблонами при проведении преобразований.

Команда  /. служит сигналом системе Mathematica применить  подстановку  b - > 1 + x.

{a,b,c,d}/.b->1+x

{a,1+x,c,d}

Каждый символ x_ и y_ замещает любое выражение, так что шаблон x _ + y_ обозначает собой сумму любых двух объектов.

{a + b, c + d, a + c} /. x_ + y_ -> x2 + y2

{a2 + b2, c2 + d2, a2 + c2}

{a + b, c + d, a + c} /. a + x_ -> x3

{b3, c + d, c3}

Mathematica использует шаблоны, чтобы обобщить понятие функции.

Это стандартный способ определения функции для всех значений x.

Изменение общего определения функции при фиксированном значении аргумента.

f[0]:=e

Пример использования определенной выше функции f.

f[6]+f[a+b]+f[0]

Сброс определения функции  f.

Clear[f]

Важная особенность использования шаблонов заключается в том, что они позволяют определять операции, аргументами которых могут выступать любые объекты.

Определение функции g, аргументом которой является список, состоящий из двух элементов.

g[{x_,y_}]:=x+y

g[{4,a b}]

4+a b

Clear[g]

Определение функции, имеющей смысл площади круга, аргументом которой является объект Circle.

area[Circle[{2,3},u]]

Осуществление преобразования  логического правила.

reduce[p_ && q_ || p_]:=p

Mathematica - исключительно гибкий и интуитивно понятный язык программирования.

Система Mathematica включает в себя прогрессивные методы программирования современной информатики и вводит свои собственные новые концепции.

Mathematica объединяет в себе самые разные методы программирования, что позволяет Вам всегда  применять в данный момент наиболее подходящие из них.

Процедурное программирование.

z=a;

Do[Print[z*=z+i],{i,3}]

a (1+a)

a (1+a) (2+a (1+a))

a (1+a) (2+a (1+a)) (3+a (1+a) (2+a (1+a)))

Clear[z]

Программирование, ориентированное на работу со списками.

Многие операции автоматически работают со списками.

1 + {a, b, c}2

{1 + a2, 1 + b2, 1 + c2}

Table[ij, {i, 4}, {j, i}]

{{1},{2,4},{3,9,27},{4,16,64,256}}

Объединение вложенных списков.

Flatten[%]

{1,2,4,3,9,27,4,16,64,256}

Разбиение предыдущего списка на подмножества длины 2.

Partition[%,2]

{{1,2},{4,3},{9,27},{4,16},{64,256}}

Программирование, ориентированное на работу с функциями.

NestList[f,x,4]

{x,f[x],f[f[x]],f[f[f[x]]],f[f[f[f[x]]]]}

Здесь символ # является областью, замещаемой аргументом функции.

NestList[(1 + #)2 &, x, 3]

Программирование, ориентированное на работу с правилами.

p[x_+y_]:=p[x]+p[y]

p[a+b+c]

p[a]+p[b]+p[c]

Символ _  замещает одно единственное выражение; символ __  замещает любую последовательность выражений.

s[{x__,a_,y__},a_]:={a,x,x,y,y}

s[{1,2,3,4,5,6},4]

{4,1,2,3,1,2,3,5,6,5,6}

Clear[p, s]

Объектно-ориентированное программирование

Задание трех свойств объекта h.

h/:h[x_]+h[y_]:=hplus[x,y]

h/:p[h[x_],x_]:=hp[x]

h/:f_[h[x_]]:=fh[f,x]

Пример использования данного выше определения для объекта h.

h[a]+h[b]+f[h[r]]+h[h[x]]

fh[f,r]+fh[h,x]+hplus[a,b]

Clear[h]

Программирование, ориентированное на работу со строчными переменными.

Смешанные методы программирования.

Наиболее мощные операторы системы Mathematica объединяют в себе различные методы программирования.

Position[{1,2,3,4,5}/2,_Integer]

{{2},{4}}

MapIndexed[Power,{a,b,c,d}]

{{a}, {b2}, {c3}, {d4}}

{100000,50000,25000,12500,6250,3125,3125}

ReplaceList[{a,b,c,d,e},{x__,y__}->{{x},{y}}]

{{{a},{b,c,d,e}},{{a,b},{c,d,e}},{{a,b,c},{d,e}}, {{a,b,c,d},{e}}}

Гибкость системы Mathematica дает Вам возможность записать одну и ту же программу различными способами.

Дюжина способов определить факториал.

f=Factorial

f[n_] := n!

f[n_] := Gamma[n-1]

f[n_] := n f[n-1] ; f[1] = 1

f[n_] := Product[i, {i, n}]

f[n_] := Module[{t = 1}, Do[t = t*i, {i, n}]; t]

f[n_] := Module[{t = 1, i}, For[i =1, i <=n, i++, t *= i]; t]

f[n_] := Apply[Times, Range[n]]

f[n_] := Fold[Times, 1, Range[n]]

f[n_] := If[n == 1, 1, n f[n-1]]

f = If[#1 == 1, 1, #1 #0[#1 - 1]]&

f[n_] := Fold[#2[#1]&, 1, Array[Function[t, #t]&, n]]

Эта команда сбрасывает значения, приписанные f.

Clear[f]

Язык программирования высокого уровня системы Mathematica позволяет Вам писать сложные программы быстрее, чем когда-либо прежде.

Даже  состоящая всего из одной строки программа системы Mathematica  может выполнять сложные операции.

Эта программа моделирует одномерное случайное блуждание.

RandomWalk[n_]:=NestList[(#+(-1) ^Random[Integer])&,0,n]

График, демонстрирующий первые 200 шагов случайного блуждания.

ListPlot[RandomWalk[200],PlotJoined->True];

Ясность программ системы Mathematica позволяет легко модифицировать их для более общих случаев.

Эта программа моделирует случайное блуждание в пространстве размерности d.

RandomWalk[n_,d_]:=NestList[(#+(-1) ^Table[Random[Integer],{d}])&,Table[0,{d}],n]

График трехмерного случайного блуждания.

Show[Graphics3D[Line[RandomWalk[1000,3]]]];

Богатство языка программирования системы Mathematica делает простой реализацию сложнейших алгоритмов.

Это программа для моделирования одного шага эволюции клеточной системы.

 LifeStep[a_List] := MapThread[If[(#1 == 1 && #2 == 4) || #2 == 3, 1, 0]&, {a, Sum[RotateLeft[a, {i, j}], {i, -1, 1}, {j, -1, 1}]}, 2]

А это пример оптимизированной программы, которая оперирует со списками живых клеток.

LifeStep[list_] := With[{u=Split[Sort[Flatten[Outer[Plus,list,N9,1] ,1]]]}, Union[Cases[u,{x_,_,_}->x], Intersection[Cases [u,{x_,_,_,_}->x],list]]]

N9=Flatten[Array[List,{3, 3},-1], 1] ;

Система Mathematica позволяет легко создавать программы, состоящие из нескольких компонент.

Здесь приведены составляющие программы, моделирующей поведение клеточных систем 

 CenterList[n_Integer]:=ReplacePart[Table[0, {n}], 1, Ceiling[n/2]]

 ElementaryRule [num_Integer] := IntegerDigits[num, 2, 8]

 CAStep[rule_List, a_List] :=rule[[ 8 - (RotateLeft[a] + 2 (a + 2 RotateRight[a])) ]]

CAEvolveList[rule_List, init_List, t_Integer] :=NestList[CAStep[rule, #]&, init, t]

 CAGraphics[history_List] :=Graphics[Raster[1 - Reverse[history]], AspectRatio -> Automatic]

Пример работы программы.

 Show[CAGraphics[ CAEvolveList[ElementaryRule[30], CenterList[101], 50]] ];

Mathematica имеет компилятор для оптимизации программ, которые работают со списками и числами.

 CAStep = Compile[{{rule, _Integer, 1}, {a, _Integer,1}}, rule[[ 8 - (RotateLeft[a] + 2 (a + 2 RotateRight[a])) ]]]

Программы системы Mathematica зачастую являются прямой трансляцией теоретических положений справочной литературы.

Здесь вводятся необходимые определения для расчета импеданса электрической цепи.

Использование данных выше определений.

Пример электрической схемы, заданной при помощи символической спецификации.

Программы в системе Mathematica предоставляют беспрецедентно ясные способы записи алгоритма.

Обе эти программы аппроксимируют Золотое Сечение с точностью до k знаков.

{1.6180339887498948482,1.6180339887498948482, 1.6180339887498948482}

В программах системы Mathematica возможно уникальное соединение математической и вычислительной систем обозначений.

Эта программа соответствует недавно открытой приближенной формуле для нахождения количества простых чисел, меньших заданного числа.

Сравнение приближенного результата с точным значением, полученным с помощью встроенной функции PrimePi.

{168, 168}

Программа в системе Mathematica может одновременно состоять из блоков, выполняющих численные, символические и графические операции. Ниже в качестве примера приведена короткая программа для работы с одной сложной квантовой моделью.

Это программа, отвечающая модели Kohmoto для спектра энергии квантовой частицы в одномерном квазипериодическом потенциале.

FareySequence[q_]:=Apply[Union,Array[Range[#-1]/#&,q]]

Пример работы программы.

Show[Graphics[SpectrumData /@ FareySequence[20]]]

-Graphics-

Система Mathematica имеет модульную архитектуру, которая легко позволяет использовать ее как мощную составную часть программного обеспечения.

Пример ввода/вывода в стандартном интерфейсе системы Mathematica.

Вы можете также обращаться к ядру системы Mathematica непосредственно с текстового терминала.

Integrate[Sqrt[Log[x]], x]

Протокол MathLink обеспечивает связь между системой Mathematica и внешними программами.

Это код языка C для посылки некоторого выражения из внешней программы в систему Mathematica.

/* Integrate[Sqrt[Log[x]], x] */ MLPutFunction( stdlink, "EvaluatePacket", 1); MLPutFunction( stdlink, "Integrate", 2); MLPutFunction( stdlink, "Sqrt", 1); MLPutFunction( stdlink, "Log", 1); MLPutSymbol( stdlink, "x", 1); MLPutSymbol( stdlink, "x"); MLEndPacket( stdlink);

Эта команда  подключает компилируемую внешнюю программу C, которая выполняет поразрядные операции с целыми числами.

link=Install["bitops"];

Выполнение внешней функции BitAnd.

BitAnd[22222,33333]

516

Отключение внешней программы.

Uninstall[link];

Вы можете использовать MathLink, чтобы обращаться к ядру системы Mathematica из самых различных программ.

Microsoft Word в качестве интерфейса системы Mathematica.

Web-страница, устанавливающая связь с системой Mathematica.

Microsoft Excel, связанный с системой Mathematica.

MathLink может также использоваться для обращения к другим программам изнутри ядра системы Mathematica.

MathLink позволяет устанавливать шаблоны, чтобы точно определить, каким образом должны вызваться внешние программы. Это определяет связь с библиотекой подпрограмм языка C.

:Begin: :Function: anneal :Pattern: TSPTour[r:{{_, _}..}] :Arguments: {First[Transpose[r]], Last[Transpose[r]], Length[r], Range[Length[r]]} :ArgumentTypes: {RealList, RealList, Integer, IntegerList} :ReturnType: Manual :End:

Создание в системе Mathematica трехмерного графика.

Это изображение было получено с использованием возможностей внешнего графического редактора, в который оно было передано из системы Mathematica через протокол MathLink.

Вы можете использовать MathLink, чтобы управлять интерфейсом системы Mathematica из ее ядра.

Эта команда сообщает интерфейсу системы, что надо открыть окно, содержащее палитру цветов.

FrontEndTokenExecute["ColorSelectorDialog"]

Можно использовать MathLink, чтобы обеспечить связь между несколькими экземплярами ядра системы Mathematica вне зависимости от того, находятся ли они все на локальном или на удаленных компьютерах.

На большинстве компьютерных систем (обычно исключение составляет Macintosh) эта команда запускает дополнительное ядро системы Mathematica на  Вашем компьютере.

link=LinkLaunch["MathKernel -mathlink"];

Команда чтения данных из дополнительного ядра.

LinkRead[link]

InputNamePacket["In[1]:= "]

Запись команды в дополнительное ядро.

LinkWrite[link,Unevaluated[$SessionID]]

Считывание $SessionID из вспомогательного ядра.

LinkRead[link]

ReturnPacket[20002811790628968292]

Значение $SessionID в Вашем главном ядре будет отличаться.

$SessionID

20000841219624707995

Закрытие дополнительного ядра.

LinkClose[link];

Сегодня система Mathematica - это более миллиона пользователей во всем мире и большое количество различных дополнительных продуктов и услуг.

Системе Mathematica посвящены сотни книг на более чем десяти языках.

Существуют специальные периодические издания, посвященные системе Mathematica.

Имеется растущая библиотека профессиональных прикладных программ, базирующихся на системе Mathematica.

Сотни учебных курсов были разработаны с использованием системы Mathematica.

Wolfram Research's MathSource - колоссальный  архив материалов, относящихся к системе Mathematica.

При разработке и эксплуатации самых разнообразных изделий используется система Mathematica.

Web-представительство http://www.wolfram.com/ разработчика системы Mathematica компании Wolfram Research Inc. содержит тысячи страниц материала и постоянно обновляется.