10. Преобразования Лапласа — LaplaceTransform

Преобразования Лапласа-LaplaceTransform

Преобразования Лапласа — важный вид интегральных преобразований. Они лежат в основе, например, символического метода расчета электрических цепей. В системе Mathematica 3 функции преобразования размещены в подпакете Laplace-Transform. Но в CKM Mathematica 4 эти функции стали встроенными.

Основными являются следующие функции этого класса:

• LaplaceTransform[expr, t, s] — возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [t] в виде функции переменной s;
• InverseLaplaceTransform[expr, s,t] — возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s] в виде функции переменной t;
• LaplaceTransform [expr, {tl, t2,...}, {s1i, s2,...} ] — возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [ 11, t2,... ] в виде функции переменных {s1, s2,...};
• InverseLaplaceTransform [expr, {s1, s2,...}, {tl, t2,...} ] — возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s1, s2,...] в виде функции переменных {tl, е2,...}.

Хотя имена переменных t и s можно выбирать произвольно, обычно t означает время, as — оператор Лапласа. Ниже представлено несколько примеров выполнения преобразования Лапласа: 

<<Calculus'LaplaceTransfornT'

LaplaceTransform[Exp[-t]*Sin[t], t, s]

1+1/ (1 + s)2

InverseLaplaceTransform[%,s,t]

E-tSin[t]

LaplaceTransform[t^2 Exp[-x], {t,x}, {s,v}]

2/s3(1 + v)

Функции z-преобразований — ZTransform

Z-преобразования широко используются в теории автоматического регулирования. Поэтому в системе Mathematica 4 для осуществления z-преобразований в ядро включены следующие функции:

• ZTransform[expr, n, z] — возвращает результат прямого 2-преобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента n;
• InverseZTransform[expr, n, z] — возвращает результат обратного z-npeобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента п.

Приведем примеры выполнения z-преобразований:

ZTransform[Cos[n], n, z]

(1-cos(1)/z)/(1+1/z2-2Cos(1)/z)

InverseZTransform[%,s,t]

Cos[n]

ZTransform[n^2 а^n, n, z]

[-a(1+a/z)/(-1+a/z)3 z

InverseZTransf orm [%, z, n] // Together

ann2

Как и следовало ожидать, прямое, а затем обратное z-преобразование выражения ехрг восстанавливает его в исходном виде. В системе Mathematica 3 эти функции становятся доступными после исполнения команды «DiscreteMath' ZTransform' поскольку они входят не в ядро, а в пакет расширения дискретной математики.