Основные классы данных

 

Mathematica оперирует с тремя основными классами данных:

• численными данными, представляющими числа различного вида;
• символьными данными, представляющими символы, тексты и математические выражения (формулы);
• списками — данными в виде множества однотипных или разнотипных данных.

Каждый из этих классов данных в свою очередь имеет ряд специальных, более частных типов данных. На них мы остановимся более подробно.

Численные данные

Двоичные числа, биты и байты

Минимальной единицей информации в компьютерной технике является двоичная единица — бит. Она имеет представление в виде 0 или 1, удобное для реализации простейшими электронными схемами с двумя состояниями электрического равновесия (например, триггерами или иными ячейками памяти). Многоразрядные двоичные числа представляют собой набор цифр 0 и 1, например, 100110 или 111001. Каждый старший разряд относительно предыдущего имеет весовой коэффициент, равный 2.

Именно с битами работает микропроцессор на нижнем уровне операций. Однако бит — слишком мелкая единица, не очень удобная в обращении. К тому же мы привыкли к куда более удобным и наглядным для нас элементам информации, таким как буквы, цифры, знаки арифметических операций, спецзнаки и символы псевдографики. В принципе, набор этих знаков, минимально необходимый для представления обычной текстовой и цифровой информации, содержит до 2 ⁸ = 256 элементов. Каждый из них в компьютере представляется кодом от 0 до 255. Для задания таких кодов достаточно 8 бит (2^8=256), которые и образуют наиболее распространенную единицу представления информации — байт. 1024 байта образуют килобайт (Кбайт), 1024 Кбайт дают 1 Мбайт (мегабайт) и т. д.

Широко применяется общеизвестный стандарт кодирования текстовой информации ASCII (American Standard Code for Information Interchange).

Десятичные числа

К наиболее известным типам данных в математике относятся привычные нам десятичные числа (DECIMAL). Каждый разряд таких чисел имеет представление, заданное одной из арабских цифр — 0, 1, 2,..., 9. Весовой коэффициент старшего разряда относительно предшествующего равен 10. Количество цифр, представляющих число, может быть, в принципе, любым. Десятичные числа относятся к следующим основным типам.

Десятичные числа наиболее распространены в научно-технических расчетах.

Целые числа

Целочисленные данные (Integer) — это целые числа, например 1, 2 или 123, которые представляются системой без погрешности и ограничения разрядности. Более того, арифметические операции над целыми числами система выполняет также без погрешностей и без ограничения числа цифр (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Операции с целыми числами

Количество цифр, представляющих большое целое число, ограничено лишь его значением, но не какими-либо фиксированными форматами. Рациональные данные задаются отношением целых чисел, например 123/567, и также представляют результат точно. Поэтому система при символьных и численных расчетах всегда старается выдать результат в виде целых или рациональных чисел, там где это возможно:

1000000/3000000

1/3

(124-1)/(455+1)

41/152

Фактически целые числа произвольной разрядности в системах символьной математики представляются списками отдельных цифр. Особая организация списков повышает компактность представления больших целых чисел. Характерным примером работы с целыми числами большой разрядности является вычисление факториала n!=1*2*3*. . . *n. Примеры его вычисления уже приводились (см. рис. 1.16).

Числа с произвольным основанием

Для вычисления чисел с произвольным основанием используется конструкция

Основание^^Число

Число должно быть записано по правилам записи чисел с соответствующим основанием. Если основание больше 10, для обозначения значений чисел используются буквы от а до z. Наиболее известными из чисел с основанием системы счисления, превышающим 10, являются шестнадцатеричные числа (HEX — от слова hexagonal). Разряды таких чисел могут иметь следующие значения:

HEX 0123456789abCdef

DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Каждый более старший разряд имеет весовой коэффициент относительно предыдущего разряда, равный 16.

Примеры задания шестнадцатеричного и двоичного чисел:

16^^123abcde

305839326

2^^1010111

87

Для представления чисел с произвольным основанием n (до 32) используется функция BaseForm[expr, n], которая возвращает выражение ехрг в форме числа с основанием n, которое указывается как подстрочный индекс.

Примеры использования функции BaseForm:

BaseForm[87,2]

10101112

BaseForm[305839326,16]

123abcde16

В дальнейшем мы будем использовать только десятичные числа.

Вещественные числа

Численные данные могут быть представлены также десятичными вещественными числами, которые могут иметь различную форму, например 123.456, 1.23456 10^2,12345.6 10^-2 и т. д. В общем случае они содержат мантиссу с целой и дробной частями и порядок, вводимый как степень числа 10. Как правило, вещественные числа в системах символьной математики могут иметь мантиссу с любым, но конечным числом знаков. Пробел между мантиссой и порядком эквивалентен знаку умножения *:

23.456*10^100

2.345бх10^101

10^-100

1/

100000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000

10.^-100

1.x 10^-100

Как принято в большинстве языков программирования, целая часть мантиссы отделяется от дробной части точкой, а не запятой.

Mathematica производит операции с числами изначально как с целыми. Однако установка значка разделительной точки означает, что число должно рассматриваться как вещественное. Например, 1 — целое число, но 1. — уже вещественное число. Для представления выражения ехрг в форме вещественного числа используется функция N [ехрг] или N [ехрг, число_цифр_результата].

Примеры:

1/3

1/3

1./3 .

0.333333

N[1/3]

0.333333

N[2*Pi,50]

6.283185307179586476925286766559005768394338

Вещественные числа всегда имеют некоторую погрешность представления результатов из-за неизбежного округления и существования так называемого машинного нуля — наименьшего числа, которое воспринимается как нуль. В терминах системы Mathematica говорят о приближении числовых данных как об их аппроксимации, хотя в отечественной литературе под аппроксимацией чаще подразумевают описание некоторой зависимости между данными достаточно приближенной аналитической зависимостью.

Mathematica имеет две системные переменные, позволяющие вывести максимально и минимально возможные значения чисел, с которыми оперирует система:

$MaxMachineNumber

1.79769х10^308

$MinMachineNumber

2.22507х 10^-308

Обратите внимание на то, что функция N [ехрr, m] позволяет получить число с практическим любым числом цифр результата m. Разработчики последней версии Mathematica 4 утверждают, что это верно при количестве цифр результата до одного миллиона, что с лихвой удовлетворяет требованиям подавляющего большинства расчетов и вычислений.

Функции IntegerPart [x] и FractionalPart [x] обеспечивают возврат целой и дробной частей вещественного числа х:

N[Pi]

3.14159

IntegerPart[Pi]

3

FractionalPart[Pi]

-3.+ Л

N[FractionalPart[Pi]]

0.141593

Еще одна функция RealDigits [x] возвращает список реальных цифр результата и число цифр целой части х:

RealDigits[N[2*Pi]]

{{6, 2, 8, 3, 1, 8, 5, 3, 0, 7, 1, 7, 9, 5, 8, 6}, 1}

Есть и множество других функций для работы с вещественными числами. Они будут рассмотрены в дальнейшем. В Mathematica 4 функция RealDigits имеет расширенные формы, например RealDigits [x, b, len, n]. Для получения цифр мантиссы введены функции MantissaExponent [x] и MantissaExpo-nent[x,b].

Комплексные числа

Многие математические операции базируются на понятии комплексных чисел. Они задаются в форме

z=Re(z)+I*Im(z)

или

z=Re(z)+i Im (z)

где знак I (i) — мнимая единица (квадратный корень из -1), Re (z) — действительная часть комплексного числа, a Im (z) — мнимая часть комплексного числа. Пример задания комплексного числа:

2 + I3

или

2 + 3*I

Мнимая часть задается умножением ее значения на символ мнимой единицы I. При этом знак умножения * можно указывать явно или заменить его пробелом — в последнем случае комплексное число выглядит более естественным. Функции Re [ z ] и Im [ z ] выделяют, соответственно, действительную и мнимую части комплексного числа z. Это иллюстрируют следующие примеры:

Re[3+2*1]

3

Im[3+2 I]

2

Большинство операторов и функций системы Mathematica работают с комплексными числами. Разумеется, это расширяет сферу применения системы и позволяет решать с ее помощью различные специальные задачи — например, относящиеся к теории функций комплексного аргумента. Комплексные числа широко используются в практике электро- и радиотехнических расчетов на переменном токе.

Символьные данные и строки

Символьные данные в общем случае могут быть отдельными символами (например a, b,..., z), строками (strings) и математическими выражениями ехрг (от expression — выражение), представленными в символьном виде.

Символьные строки задаются цепочкой символов в кавычках, например "sssss". В них используются следующие управляющие символы для строчных объектов:

• \n— новая строка (line feed);
• \ t — табуляция.

Это иллюстрируется следующими примерами:

"Hello my friend!"

Hello my friend!

"Hello\nmy\nfriend!"

Hello

my

friend!

"Hello\tmy\tfriend!"

Hello my friend;

Следует помнить, что управляющие символы не печатаются принтером и не отображаются дисплеем, а лишь заставляют эти устройства вывода выполнять определенные действия. Mathematica имеет множество функций для работы со строками, которые будут описаны в дальнейшем.

Выражения

Выражения в системе Mathematica обычно ассоциируются с математическими формулами, как показано в следующей таблице.

Для записи математических выражений используются как операторы, так и функции. Их особенности будут рассмотрены несколько позже. А пока сразу отметим некоторые тонкости синтаксиса системы, используемого при записи арифметических операций:

• знак умножения может быть заменен пробелом;
• встроенные функции начинаются с большой буквы и обычно повторяют свое общепринятое математическое обозначение (за исключением тех, в названии которых есть греческие буквы — они воспроизводятся латинскими буквами по звучанию соответствующих греческих букв);
• круглые скобки () используются для выделения частей выражений и задания последовательности их вычисления;
• параметры функций задаются в квадратных скобках [ ];
• фигурные скобки {} используются при задании списков.

Новые системы Mathematica 3/4 обладают обширными возможностями по заданию форматов записи математических выражений при их выводе на экран или принтер, а также при вводе с клавиатуры. Они будут рассмотрены в дальнейшем.

Списки и массивы

Наиболее общим видом сложных данных в системе являются списки (lists). Списки представляют собой совокупности однотипных или разнотипных данных, сгруппированных с помощью фигурных скобок:

• { 1 , 2 , 3 } — список из трех целых чисел;
• { а , b , с } — список из трех символьных данных;
• {1, а, x^ 2} — список из разнотипных данных;
• {{a,b},{c,d}} — список, эквивалентный матрице

  a     b

  c     d

• {х^2+у^2, 2*Sin [x] } — список из двух математических выражений.

Как видно из этих примеров, элементы списков размещаются в фигурных скобках — открывающей { и закрывающей } . Списки могут быть с вложениями из списков — так получаются многоуровневые списки (двухуровневый список дает матрицу). Позже свойства и возможности списков будут рассмотрены детально. С помощью списков представляются множественные данные — массивы.

Объекты и идентификаторы

В общем случае система Mathematica оперирует с объектами. Под ними подразумеваются математические выражения (ехрг), символы (symbols), строки из символов (strings), упомянутые выше числа различного типа, константы, переменные, графические и звуковые объекты и т. д.

Каждый объект характеризуется своим именем — идентификатором. Это имя должно быть уникальным, то есть единственным. Существуют следующие правила задания имен:

• sssss — имя объекта, заданного пользователем;
• Sssss — имя объекта, входящего в ядро системы;
• $Sssss — имя системного объекта.

Итак, все объекты (например функции), включенные в ядро, имеют имена (идентификаторы), начинающиеся с большой буквы (например Plus, Sin или Cos). Идентификаторы относящихся к системе объектов начинаются со знака $. Заданные пользователем объекты следует именовать строчными (малыми) буквами. Разумеется, под символами s...s подразумеваются любые буквы и цифры (но не специальные символы, такие как +, -, * и т. д.).

Объекты (чаще всего это функции), встроенные в систему, принято называть внутренними или встроенными. Объекты, которые создает пользователь (в том числе используя внутренние объекты), называют внешними объектами. К ним, в частности, относятся процедуры и функции, составляемые пользователем, которые детально рассматриваются в дальнейшем.

Функции, опции, атрибуты и директивы

К важному типу объектов принадлежат функции — объекты, имеющие имя и список параметров, возвращающие некоторое значение в ответ на обращение к ним по имени с указанием списка конкретных (фактических) значений параметров. В системах Mathematica 2/3/4 встроенные функции задаются в виде

И дентификатор_Функции [ol, о2, o3, ...]

где ol, о2, оЗ... — объекты (параметры, опции, математические выражения и т. д.). Список входных параметров задается необычно — в квадратных скобках. В числе входных параметров могут быть специальные объекты — опции. Они задаются в виде

Имя_опции->3начение_опции

Значением опции обычно является то или иное слово. Например, в функции построения графиков

Plot [sin[x] , {x, 0,20} ,Axes->None]

опция Axes->None указывает на то, что отменяется вывод координатных осей (Axes). Функция Options [name] выводит для функции с идентификатором name список всех возможных для нее опций. Некоторые функции, например Sin, могут вообще не иметь опций, другие, такие как Solve, могут иметь целый «букет» опций:

Options [Sin]

Options [Solve]

{InverseFunctions -> Automatic, MakeRules -> False,

Method -> 3, Mode -> Generic, Sort -> True,

VerifySolutions -> Automatic, WorkingPrecision -> 00}

В последнем случае характер возвращаемого функцией результата может сильно зависеть от значений опций. Назначение каждой опции мы рассмотрим в дальнейшем. В этой главе они нам пока не понадобятся.

Каждый объект может характеризоваться некоторой совокупностью своих свойств и признаков, называемых атрибутами. Функция Attributes [name] возвращает список всех атрибутов функции с именем name, например:

Attributes [Sin]

{bistable, NumericFunction, Protected}

Attributes [Solve]

{Protected}

Как видите, для функции синуса характерны три атрибута:

• bistable — указывает на применимость в списках и таблицах;
• NumericFunction — указывает на отношение к числовым функциям;
• Protected — указывает на то, что слово Sin защищено от какой-либо модификации.

Кроме того, в Mathematica 2/3/4 имеется понятие функций-директив. Эти функции не возвращают значений, а указывают, как в дальнейшем будут выполняться функции, работа которых зависит от директив. Синтаксис функций-директив тот же, что и у обычных функций.

Применение опций и директив делает аппарат функций более гибким и мощным, поскольку позволяет задавать те или иные свойства функций и условия их выполнения. Это особенно важно при использовании функций в задачах графики и символьной математики.

Константы

Константы являются типовыми объектами системы, несущими заранее предопределенное численное или символьное значение. Это значение не должно меняться по ходу вычисления документа. К численным константам относятся любые числа, непосредственно используемые в математических выражениях или программных объектах, например процедурах и функциях. Так, числа 1 и 2 в выражении 2*Sin [ 1 ] являются численными константами. Константы-числа не имеют идентификаторов. Идентификатором, в сущности, является само число. Его представление и хранится в памяти.

Имеется также ряд именованных констант, которые можно рассматривать как функции без аргумента, возвращающие заранее заданное значение. Имена констант (и других объектов, например функций и переменных) представляются их идентификаторами — непрерывной строкой символов, отождествляемой с именем. В системе Mathematica большинство идентификаторов имеют естественный математический смысл и начинаются с большой буквы. Например, Е — это основание натурального логарифма.

Используются следующие встроенные именованные константы:

• Complexlnf inity — комплексная бесконечность, которая представляет величину с бесконечным модулем и неопределенной комплексной фазой.
• Degree — число радиан в одном градусе, которое имеет числовое значение Pi/180.
• Е- основание натурального логарифма с приближенным числовым значением 2 . 71828....
• EulerGamma — постоянная Эйлера с числовым значением 0.577216....
• GoldenRatio — константа со значением (l+Sqrt[5] ) /2, определяющая деление отрезка по правилу золотого сечения.
• I — представляет мнимую единицу Sqrt [-1].
• Infinity — «положительная» бесконечность (со знаком «минус» дает «отрицательную» бесконечность).
• Catalan — константа Каталана 0 . 915966....
• Pi — число, имеющее значение 3 .14159... и равное отношению длины окружности к ее диаметру.

Константы, имеющие значение, дают его в виде вещественного числа:

{N [Degree], N[E], N[Pi]}

{0.0174533, 2.71828, 3.14159}

{N[EulerGamma],N[GoldenRatio],N[Catalan]}

{0.577216, 1.61803, 0.915966}

Константы в описываемой системе используются вполне естественно, так что от дальнейшего их описания можно воздержаться.

Размерные величины

Mathematica позволяет оперировать с размерными величинами, которые широко используются в физических и химических расчетах. Размерные величины характеризуются не только численными значениями, но и единицами измерения, например Meter (метр), Second (секунда) и т. д. Последние могут стоять в числителе и в знаменателе выражений, представляющих размерные величины:

1 Meter

Meter

5Meter

5 Meter

0.5Second

0.5Second

Между значением размерной величины и единицей измерения знак умножения можно не ставить. Это видно из приведенных выше примеров.

Для облегчения ввода физических констант, представляющих собой размерные величины, в наборе файлов Mathematica можно найти файл PhysicalConstants.nb. При его загрузке появляется дополнительная палитра физических констант, показанная на рис. 3.2.

Для ввода констант достаточно активизировать соответствующую кнопку с нужной константой. Будут введено выражение, задающее константу. Ниже представлены примеры ввода первой и последней констант, содержащихся в палитре, представленных в стандартной форме:

2.99792458000000028'*^8 Meter/ Second

2.99792х108 Meter/ Second

6. 9599 x 108 Meter

6.9599xl08 Meter

Следует отметить, что без острой необходимости применять размерные величины не следует, поскольку они усложняют математические выражения и зачастую не позволяют выполнять с ними символьные преобразования. Рекомендуется нормировать выражения (формулы) так, чтобы результаты их вычисления имели безразмерный вид.

Рис. 3.2. Дополнительная палитра физических констант

 

Переменные

Переменными в математике принято называть именованные объекты, которые могут принимать различные значения, находящиеся в определенном множестве допустимых значений. Подобно этому, переменными в системе Mathematica являются именованные объекты, способные в ходе выполнения документа неоднократно принимать различные значения — как численные, так и символьные. При этом символьные значения переменных, в отличие от обычных языков программирования, могут представлять собой как исполняемые математические выражения ехрг, так и некоторые обобщенные классы функций и объектов. Например, переменная может представлять графический объект, такой как изображение трехмерной поверхности, или звуковой объект, при активизации которого исполняется звук. Значением переменных могут быть также множественные объекты — списки.

Имена переменных называют их идентификаторами. Они должны быть уникальными, то есть не совпадать с именами директив, атрибутов, опций и функций в ядре системы. Имена переменных должны начинаться с буквы. Общеприняты, скажем, имена х и у для функциональной зависимости у (х) или представления графиков, f — для функций. Желательно назначать именам переменных смысловые значения, например xcoordinaate или ycoordinate для координат точки. Все сказанное об идентификаторах объектов справедливо и для идентификаторов переменных, поскольку переменные — распространенные виды объектов.

Особенности применения переменных

В отличие от переменных в математике, каждая переменная в системе Mathematica, как и в любой системе программирования, всегда отождествляется с некоторой физической областью памяти, в которой и хранится значение переменной. Для уменьшения объема памяти применяются различные способы компактного размещения информации. Надо помнить, что и имя переменной занимает определенную область памяти. Распределение памяти под переменные — динамическое. Это означает, что местоположение ячеек памяти и объем памяти под ту или иную переменную не фиксированы, а меняются в ходе выполнения задачи.

Заранее объявлять тип переменной не требуется. Он определяется операцией присваивания переменной некоторого значения. Такой подход упрощает построение программ и естественен при использовании переменных в обычной математической литературе.

Без особых на то указаний переменные в системе Mathematica являются глобальными. Это означает, что после определения переменной ее значение можно изменить в любом месте документа или программы. Переменная появляется как действующий объект только после ее первого определения или задания. Определения переменных выполняются с помощью операции присваивания, вводимой знаком равенства:

var = value

Здесь var — имя переменной, value — ее значение. Ниже представлены основные операции по присваиванию переменным значений:

• х = value — переменной х присваивается вычисленное значение value;
• х = у = value — вычисленное значение value присваивается переменным х и у;
• x:=value — присваивание переменной х невычисленного значения value;
• х =. — с переменной х снимается определение.

Примеры (комментарий ln[...] опущен):

• g = Plot[Sin[x],{x,0,20}] — переменной д присваивается значение в виде графического объекта;
• у = 1 + х ^{^} 2— переменной у присваивается символьное значение в виде математического выражения (1 + х ^{^} 2);
• z= {1, 2, х, a + b}— переменной z присваивается значение в виде списка, содержащего четыре элемента.

Различие в присваивании переменным значений с помощью знаков «=>> и <<:=» иллюстрируют следующие примеры:

а=12;

b=а

12

с:=а

с

12

а=15;

b

12

с

15

Как видите, после первоначальных присваиваний b=а и с: =а обе переменные, b и с, имеют значение 12. Однако после присваивания переменной а нового значения (15) переменная b, которой было присвоено вычисленное значение а, остается равной 12, а переменная с, которой было присвоено невычисленное значение а, становится равной 15.

Особо обратите внимание на то, что возможно снятие с переменной определения с помощью символов «=.» или функции Clear [var]. В символьной математике это очень полезная возможность, поскольку нередко переменные с одним и тем же именем в разных частях программы могут иметь разный смысл и представлять объекты, требующие значительных затрат памяти.

Более того, эти объекты сохраняются даже при использовании команды New при переходе к подготовке нового документа. Поэтому рекомендуется всякий раз удалять определения переменных, как только их использование завершается. Это предотвращает возникновение конфликтов между одноименными переменными и освобождает память.

Переменные могут быть локальными, то есть действующими только в пределах объекта, в котором они объявлены. Таким объектом может быть функция или процедура со списком входных параметров. Такие объекты мы рассмотрим позже.

Оценивание переменных и операции присваивания

Специфику математических выражений в системе Mathematica составляет возможность их оценивания и изменения в соответствии с заложенными в ядро системы правилами математических преобразований. В итоге после изменения значение выражения, которое присваивается переменной, может быть совсем иным, чем до оценивания. Поэтому в целом для определения переменных используют описанные ниже конструкции.

Основная функция Set [ Ihs, rhs ] имеет аналогичные по действию упрощенные операторы:

• Ihs = rhs — вычисляет правую часть rhs и присваивает ее значение левой части Ihs. С этого момента Ihs замещается на rhs всюду, где бы этот идентификатор ни появился;
• {11, 12, ...} = {rl, г2, ...} — вычисляет ri и назначает полученные результаты соответствующим 11.

Функция задержанного присваивания SetDelayed[lhs,rhs] может быть заменена аналогичным по действию оператором Ihs : =rhs, который назначает правой части rhs роль отложенного значения левой части Ihs. При этом rhs содержится в невычисленной форме. После этого, когда появляется идентификатор Ihs, он заменяется на значение rhs, вычисляемое каждый раз заново.

При задержанном (отложенном) присваивании вывода нет, тогда как при обычном немедленном присваивании lhs=rhs значение rhs вычисляется немедленно и результат выводится в строку вывода.

Функция присваивания верхнего уровня UpSet [Ihs, rhs] применяется в виде lhs ^A =rhs. При этом левой части Ihs присваивается значение правой части rhs, причем это значение связывается с символами, которые появляются на первом уровне вложенности в Ihs.

И, наконец, функцию отложенного присваивания верхнего уровня UpSetDelayed[lhs, rhs] может заменить оператор lbs^ :=rhs. При этом величина rhs выполняет роль отложенного значения Ihs, и связывается это присваивание с символами, которые появляются на первом уровне вложенности в Ihs.

Отметим еще одну важную конструкцию SetOptions [s, namel->valuel, name2->value2, . . . ], которая устанавливает для символа s указанные опции, определяемые по умолчанию.

Применение различных типов операций присваивания способствует большей гибкости системы. Различия между этими операциями на первый взгляд несущественны, но они принципиальны, и это станет понятно после более детального знакомства с символьными преобразованиями и приобретения практики работы с системой.

Имеются также системные переменные, значениями которых являются данные о системе и ее работе, например версия применяемой операционной системы, текущая дата, время в данный момент, машинная точность вычислений и т. д. Многие из таких переменных имеют отличительный знак $ перед своим именем. Такие переменные более подробно будут рассматриваться в дальнейшем.