Вы здесь

Глава 14   Примеры применения системы

Глава 14 Примеры применения системы

MathCAD 7.0 PRO

14.1. Общие замечания

В этой главе описаны наиболее интересные примеры из десяти пакетов при менений систем MathCAD, размещенных на дискете, прилагаемой к книге [б]. Примеры охватывают решения широкого круга практических задач в об ласти математики, физики, электро- и радиотехники, электроники [20-39].

В педагогической среде нередко звучат нарекания, что в системах Math CAD скрыты методы реализации численных расчетов и потому последние не наглядны. Такие нарекания абсурдны, поскольку именно MathCAD позволя ет описать алгоритм любого численного метода на естественном математичес ком языке, не прибегая к таким (скорее программистским, чем математичес ким) понятиям, как условные переходы, циклы и т. д. (хотя реализация алгоритмов с ними также возможна с помощью аппарата ранжированных пе ременных, не говоря уже о применении программных блоков).

При подготовке описанных здесь примеров определенное внимание уде лялось реализации численных методов типовыми возможностями системы MathCAD, причем даже тех методов, которые реализованы встроенными функциями систем. Это, во-первых, демонстрирует возможности системы MathCAD в наглядной реализации таких методов, во-вторых, позволяет ре шать относящиеся к ним задачи с использованием тех версий системы, у ко торых соответствующих функций нет, а в-третьих, дает заметное ускорение вычислении.

Разбор описанных примеров позволит читателю существенно углубить свои знания о возможностях систем класса MathCAD и полнее использовать их в своей учебе, на практике и в научном творчестве, а также заметно умень шить затраты времени на освоение системы, поскольку избавит вас от необхо димости самостоятельно придумывать учебные примеры.

14.2. Параметрическая трехмерная графика

При построении трехмерных поверхностей и объемных фигур можно использовать параметрическое задание описывающих их функций. Фигуры задаются значениями координат х, у и z всех точек фигуры. При этом в шаблоне 3D-графики указываются три матрицы, хранящие массивы этих координат, — X, Y и Z. Ниже представлены интересные примеры применения такой графики.

Построение сферы

На рис. 14.1 показано построение в трехмерном пространстве сферы. Сфера строится из каркаса, причем число деления ее по вертикали N задается в начале построения. Затем вычисляются массивы опорных точек каркаса, которые представлены матрицами X, Y и Z.

151.jpg

Рис. 14.1 Построение сферы

Используя различные форматы 3D-графиков, можно выполнить рисунок сферы в различных стилях, в том числе с цветной или черно-белой окраской. Однако в таком случае каркасное построение с применением алгоритма удаления невидимых линий дает, пожалуй, наиболее наглядное представление о характере этой простой объемной фигуры. На рис. 14.1 представлено два варианта построения сферы с применением различной функциональной окраски.

Параметрическое задание трехмерной поверхности позволяет эффективно применять форматирование их графиков, в частности задавая углы обзора 3D-фигур и меняя их функциональную окраску. К тому же визуализацию таких фигур можно существенно улучшить.

Построение фигуры вращением линии вокруг оси Х

Интересные объемные фигуры можно получить, вращая некоторую кривую вокруг той или иной оси. При этом необходимо обеспечить пересчет координат всех узловых точек фигуры по известным из геометрии формулам. На рис. 14.2 показано построение такой фигуры вращением линии, заданной функцией f(x), вокруг оси X.

В документе на рис. 14.2 приведены все необходимые формулы для пересчета координат узловых точек фигуры при ее вращении. Даны также графики исходной кривой (слева внизу) и фигуры, полученной ее вращением (справа внизу). Фигура напоминает опрокинутую рюмку, лежащую на плоскости. Она построена без применения функциональной окраски, но с использованием алгоритма удаления невидимых линий.

Построение фигуры вращением линии вокруг оси Y

Таким же способом можно построить фигуру, полученную вращением исходной кривой вокруг оси Y. Это демонстрирует документ, показанный на рис. 14.3.

Чтобы показать возможности задания различного стиля рисунков, в нашем случае фигура построена с удалением невидимых линий каркаса и с при-

152.jpg

Рис. 14.2 Построение фигуры вращением линии вокруг осиХ

153.jpg

Рис. 14.3 Построение фигуры вращением линии вокруг оси Y

менением функциональной окраски. Нетрудно заметить, что это делает фигуру очень наглядной.

Построение графика объемной спирали

3D Scatter Plot — вид трехмерных графиков, особенно удобный для представления пространственного расположения множества мелких объектов, условно называемых точками. На рис. 14.4 показано применение этого графика для построения 100 точек, лежащих на пространственной спирали, напоминающей растянутую пружину.

Для каждой точки в этом случае необходимо располагать тремя координатами — X, Y и Z. Их совокупность образует три одноименных вектора. Вви-

154.jpg

Рис. 14.4 Построение графика вида 3D Scatter Plot для точек пространственной спирали

ду простоты алгоритма построения необходимости в более подробном его описании нет. Заметим лишь, что число точек N можно менять.

Построение пространственной фигуры — узлов, образованных толстыми "канатами"

О больших возможностях графики MathCAD PLUS 7.0 PRO свидетельствует пример, приведенный на рис. 14.5. Он же иллюстрирует применение типовых матричных функций для описания и пространственного преобразования сложной трехмерной фигуры — узлов, образованных толстыми "канатами".

155.jpg

Рис. 14.5 Построение фигуры — узлов, образованных толстыми "канатами" (начало документа)

Сама фигура, построенная по алгоритму, представленному на рис 145, изображена на рис 146

156.jpg

Рис. 14.6 Вид фигуры (конец документа)

Изменяя параметр К, можно получить множество других объемных фигур Функциональная окраска придает фигуре весьма реалистичный вид Этот пример наглядно показывает, что по возможностям графики система MathCAD 7 О PRO уже приближается к системе Mathematica 222, лидеру среди систем символьной математики для персональных компьютеров

14.3. Финансово-экономические расчеты

Финансово-экономические расчеты со сложными процентами

В наше время перехода к рыночным отношениям финансово-экономические расчеты могут интересовать многих читателей настоящей книги MathCAD не содержит специальных функций для проведения таких расчетов Однако все они легко выполняются встроенными в систему средствами

Документ на рис 147 иллюстрирует наиболее распространенные расчеты с единичным вкладом Все они основаны на применении сложных процентов, и их не так давно (в период государственной монополии на банковские расче ты и стабильных процентов годовых) можно было использовать для оценки финансовой ситуации с нашими вкладами на сберкнижках

Разумеется, вы можете подставить в них те параметры, которые соответствуют текущему положению дел в нашей рыночной экономике

Финансовые операции с регулярными вкладами

Если ваша заработная плата превышает прожиточный минимум, простой жи тейский опыт подсказывает, что лучше не копить деньги "в чулке", а периоди чески (N раз в год) относить их в Сбербанк Документ на рис 148 показывает возможные ситуации при операциях с ежегодными регулярными вкладами

157.jpg

Рис. 14.7 Примеры расчетов с единичными вкладами и сложными процентами

158.jpg

Рис. 14.8 Примеры расчетов с регулярными вкладами

При таких операциях, разумеется, не имеет значения, какие деньги вы вкладываете (рубли, марки или доллары). Главное, чтобы это были какие-то одни денежные единицы

Финансовые операции с начальным и регулярными вкладами

Если вы имели возможность внести некоторый начальный вклад и затем намерены регулярно пополнять его ежегодно N раз, расчеты придется вести по несколько иным формулам. Они приведены в документе на рис. 14.9.

Здесь особый интерес вызывает последний пример — вычисление процента годовых.

Рис. 14.9 Операции с начальным и регулярными ежегодными вкладами

159.jpg

14.4. Реализация численных методов

Быстрые операции с полиномами-векторами

В математических расчетах широко применяются степенные многочлены — полиномы вида

Р(х) = аn xn+ an 1 хn 1+ + а1 х1 + а0

Ценность полиномов заключается в том, что они могут достаточно точно аппроксимировать многие функции (особенно непрерывные) единообразным способом При этом, поскольку полиномы содержат суммы простых членов

1510.jpg

Рис. 14.10 Быстрые операции с полиномами

вида an 1 xn 1, легко аналитически вычислять производные полиномов и интегралы с подынтегральной функцией в виде многочленов.

Коэффициенты полинома удобно задать как элементы вектора а. Тогда их запись (как элементов вектора) совпадает с общепринятой. При этом помимо своих коэффициентов полином характеризуется порядком п. В документе на рис. 14.10 представлены задание полинома Р(х) и примеры выполнения ряда операций с полиномом: вычисление значений полинома по заданному аргументу x, вычисление производной полинома Р'(х) и определенного интеграла с полиномом Р(х) в виде подынтегральной функции.

Для вычисления производной и интеграла используются аналитические выражения, что заметно уменьшает время вычислений и позволяет проводить их с предельно малой погрешностью. Все отмеченные вычисления оформлены в виде функций пользователя, что позволяет использовать эти функции в приложениях, связанных с применением полиномов.

Интегрирование таблично заданных функций

Часто возникает необходимость в вычислении определенного интеграла для таблично заданной функции. Тогда прямое применение встроенного в систему оператора вычисления интеграла оказывается невозможным, так как он предполагает задание подынтегральной функции в аналитическом виде.

Документ на рис. 14.11 иллюстрирует три способа вычисления определенного интеграла при табличном задании подынтегральной функции. Первые два способа (методом трапеций и Симпсона) используют довольно хорошо известные формулы интегрирования табличных данных. Третий способ использует встроенный оператор вычисления интеграла. При этом таблично заданная функция интерполируется линейной зависимостью или набором сплайновых функций (полиномов третьей степени).

1511.jpg

Рис. 14.11 Интегрирование табличных данных

В качестве исходных данных взяты ординаты квадратичной параболы, что позволяет вычислить интеграл без этих ухищрений. Такое вычисление представлено для контроля в конце документа. Нетрудно заметить, что лишь интегрирование методом Симпсона и интегрирование со сплайн-интерполяцией дают полное совпадение с прямым интегрированием (не стоит забывать, что установленный формат цифровых данных выводит результат только с шестью значащими цифрами после десятичной точки).

Поиск минимума функции Розенброка

С помощью функции minerr возможен поиск экстремума и функций ряда переменных. Типичной тестовой функцией двух переменных является функция Розенброка, обычно применяемая для тестирования программ минимизации функций ряда переменных. На рис. 14.12 показан поиск минимума функции Розенброка с применением функции minerr.

Рис. 14.12 Поиск минимума тестовой функции Розенброка

1512.jpg

1513.jpg

Рис. 14.13 График функции Розенброка (окончание документа, представленного на рис. 14.12)

Поиск задается вычислительным блоком, открываемым словом Given. Фактически решается система уравнений. Два уравнения после слова Given приближенно задают условия минимума, третье уравнение (с функцией minегг) отыскивает решение, в максимальной степени удовлетворяющее заданным условиям минимума.

Функция Розенброка имеет очевидные значения х=у=\ в точке минимума. Графическое представление функции напоминает овраг (см. рис. 14.13), что затрудняет поиск минимума рядом простых методов.

Следует отметить, что тут заведомо известно, что функция имеет минимум. Если бы этого не было, пришлось бы ввести условия на значения вторых производных функции по каждой переменной.

Интерполяция по общей формуле Лагранжа

В этом пакете рассматриваются функции одной переменной вида у(х), как правило, заданные в табличном виде, т. е. рядом значений х и соответствующих им значений у. Именно так обычно задаются данные эксперимента, получаемые на различных физических или электронных измерительных установках.

Важной задачей математической обработки подобных данных является и их представление в виде некоторой математической зависимости, допускающей проведение над нею обычных математических операций, например вычисление у(х) при х, не совпадающих с исходными (узловыми) точками, интегрирование или дифференцирование функций, проведение их статистической обработки (сглаживания или фильтрации) и т. д.

Одной из самых распространенных задач такого рода является ингерпо-ляция таблично заданных функций, т. е. вычисление их значений в промежутках между узловыми точками. В математической литературе общепринято представление многих специальных функций в виде математических таблиц [14], ориентированных на интерполяцию по заданному числу узловых точек (обычно от 2 до 6).

В систему MathCAD встроены функции линейной и сплайн-интерполяции, при которых отдельно на каждом промежутке функция представляется отрезком прямой или кубическим многочленом. Последний вычисляется так, чтобы обеспечить стыковку в узловых точках как значений функции, так и ее первых двух производных (что и дает необходимую гладкость графика функции).

Эти мощные средства интерполяции имеют, однако, существенный недостаток: параметры интерполирующей функции различны на различных участках интерполяции. Другими словами, такая интерполяция не может быть сведена к одной интерполирующей формуле, что затрудняет интерполяцию математических таблиц, за исключением линейной интерполяции, дающей довольно низкую точность.

На рис. 14.14 представлен документ, задающий обобщенную формулу интерполяции методом Лагранжа. Эта формула синтезирует полином Лагранжа, используя два вектора: с координатами xi и yi узловых точек. Преимущества такого подхода в том, что число узловых точек и их расположение может быть любым (в том числе неравномерным), а для интерполяции используется единая интерполирующая формула f(x), к сожалению, довольно сложная.

При интерполяции полиномом Лагранжа степень полинома п однозначно связана с числом узловых точек. Она на единицу меньше этого числа Значения ординат интерполирующей функции в узловых точках совпадают со зна-

Рис. 14.14 Интерполяция табличных данных по формуле Лагранжа

1514.jpg

чениями ординат узловых точек, поэтому график интерполирующей функции f(x) точно проходит через эти точки. К сожалению, при высокой степени полинома (более 5—6) погрешность вычислений его значений заметно возрастает, поэтому выбор п выше 6 на практике нецелесообразен. А это означает, что функция у(х) должна быть представлена небольшим числом достаточно точных значений.

К недостаткам интерполяции по обобщенной формуле Лагранжа относится и довольно большое время вычислений, поскольку формула интерполяции далеко не проста.

Линейное сглаживание по пяти точкам

Один из полезных видов статистической обработки функции у(х), заданной п точками, заключается в статистической обработке каждой точки с учетом положения нескольких ближайших точек. Например, простейший способ такой обработки усредняет значения этой точки и нескольких других, окружающих ее слева и справа. В результате будет получен вектор ys сглаженных значений у(х). Некоторую проблему представляет вычисление сглаженных значений точек, примыкающих к концевым, но можно вывести формулы сглаживания и для этих точек.

MathCAD 7 О PRO имеет встроенную функцию сглаживания Однако полезно проверить работу известных алгоритмов сглаживания по ряду точек. Так, линейное сглаживание по пяти точкам демонстрируег документ, показанный на рис. 14.15. На нем вначале задан вектор параболической зависимости, на которую наложены сильные случайные компоненты, создаваемые генератором случайных чисел. Далее заданы пять формул сглаживания: по две для крайних двух точек слева и справа и одна для других (эта формула просто находит среднее значение для центральной точки и окружающих ее четырех ближайших точек). Фактически кривая сглаживания состоит из ряда отрезков прямых линий, откуда и название — линейное сглаживание.

На приведенном рисунке видно, что сглаженная кривая проходит внутри облака точек и неплохо вписывается в него. При этом число сглаженных точек равно числу исходных точек (в нашем случае их 50) Разумеется, при таком большом числе сглаженных точек эффективность сглаживания оказывается заметно ниже, чем, например, при проведении регрессии с большим числом исходных точек

1515.jpg

Рис. 14.15 Линейное сглаживание по пяти точкам

Можно повысить эффективность сглаживания, увеличивая число точек, используемых для статистической обработки заданной точки, и перейдя к кривой сглаживания в виде отрезка полинома более высокой степени, чем 1 Так, известны формулы нелинейного сглаживания по семи точкам [1,2, 28] Этих формул семь по три для крайних точек и одна для остальных Для нели нейных зависимостей, близких к параболическим или содержащих отрезки парабол, нелинейное сглаживание гораздо более эффективно, чем линейное Тем не менее и здесь гладкость кривой сглаживания невелика

Единого мнения о целесообразности повторения процедуры сглаживания у математиков нет Одни считают, что повторное сглаживание делает кривую сглаживания более плавной Другие не рекомендуют применение повторного сглаживания В целом сглаживание — эффективный инструмент предварительной обработки исходных данных Затем можно использовать более тонкие методы их обработки, например фильтрацию на основе спектрального анализа и синтеза, полиномиальную регрессию с применением полинома определенного порядка и т д

Решение дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге — Кутта

Решение дифференциальных уравнений широко применяется в практике научно-технических расчетов Это связано с тем, что дифференциальные уравнения (и системы из них) описывают поведение различных объектов в динамике, например переходные процессы в электронных схемах или работу часового маятника Линейные дифференциальные уравнения имеют решения в виде специальных функций (скажем, функций Бесселя) Однако многие физические системы нелинейны и описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, не имеющими аналитического решения. В этом случае приходится использовать численные методы решения дифференциальных уравнений.

Версия MathCAD 7.0 PRO содержит мощные средства для реализации численных методов решения дифференциальных уравнений. Поэтому может возникнуть вопрос: а нужно ли создавать свои документы для реализации таких методов? Ответ на него не однозначен. Если ваша цель — решение конкретной задачи, то проще воспользоваться готовыми функциями MathCAD. Они были описаны выше. Однако нередко педагоги и специалисты без должных оснований говорят о трудности реализации в системе MathCAD обычных численных методов. Это неверно! Реализация таких методов в системе MathCAD легка и наглядна. Более того, она позволяет вмешиваться в алгоритмическую реализацию методов решения, что способствует созданию новых или улучшенных методов решения дифференциальных уравнений, ориентированных на решение интересующих пользователя задач.

Здесь мы остановимся на реализации решения дифференциального уравнения i/=f(x,y) хорошо известным методом Рунге — Кутта. Пусть h — шаг приращения переменной х, i — индекс, имеющий значения от 1 до N (N — число интервалов решения с шагом h). Метод Рунге — Кутта четвертого порядка дает погрешность решения порядка h(4, что удовлетворяет самым при-щрчивым требованиям к точности численных методов. Он неоднократно подробно описывался в [6, 8, 14]. Его реализация показана на рис. 14.16.

1516.jpg

Рис. 14.16 Начало документа, иллюстрирующего решение дифференциального уравнения методом Рунге — Кутта

Документ на рис. 14.16 состоит из двух частей. Первая часть (она и показана на рисунке) содержит ввод исходных данных и вывод графика решения. Для решения надо задать функцию f(x,y), начальное (startx) и конечное (endx) значения х, число точек решения п и начальное значение (inity) переменной у. При построении графика функции указываются нижний (L) и верхний (U) пределы изменения искомой зависимости у(х).

Вторая часть документа (см. рис. 14.17) в действительности располагается справа от первой части и размещается в обычно невидимой части документа Поэтому пользователь избавлен от созерцания тривиальных или просто не интересующих его математических формул и может сосредоточить внимание лишь на вводе исходных данных и функции f(x,y) и выводе результатов

Рис. 14.17 Конец документа, иллюстрирующего решение дифференциального уравнения методом Рунге Кутта

1517.jpg

Рассматривая рис 14 17, нетрудно сделать вывод о наглядности реализа ции метода Рунге — Кутта По существу приведенные уравнения повторяют известные формулы этого метода часто встречающиеся в учебной литературе по численным методам решения дифференциальных уравнений

14.5. Спектральный синтез и анализ

Гармонический синтез меандра

Одним из фундаментальных положений математики, ранее казавшимся абст рактным а затем нашедшим широчайшее практическое применение, является возможность описания любой периодической функции, имеющей конечное число разрывов и непрерывность производных между ними, с помощью три гонометрического ряда Фурье [29, 30]

1518.jpg

где k — порядковый номер гармоники, f1 — частота колебания Этот ряд со держит бесконечное число косинусных и синусных составляющих — гармо ник, причем амплитуды этих составляющих а^ и Ь^ являются коэффициента ми Фурье, определяемыми приводимыми несколько позднее интегральными выражениями

Приведенный ряд содержит бесконечное число членов и при таком пред ставлении оказывается бесполезным, поскольку время вычисления в этом случае также равно бесконечности К счастью, амплитуды гармоник для ре альных зависимостей y(t) довольно быстро уменьшаются по мере роста номеpa гармоники k. Поэтому на практике обычно приходится иметь дело с ограниченными по числу гармоник рядами Фурье.

Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в виде:

1519.jpg

где амплитуда гармоник М^ и их фаза (р^ определяются выражениями:

1520.jpg

Преимущество ряда в этой форме в том, что для вычисления каждого члена ряда нужно лишь один раз обращаться к довольно медленному вычислению тригонометрической функции. В дальнейшем будут приведены формулы, позволяющие вычислять коэффициенты Фурье (либо амплитуды и фазы гармоник) для любой функции y(t). Это является задачей спектрального анализа. Здесь же мы рассмотрим обратную задачу — синтеза зависимости y(t) путем вычисления ряда Фурье с ограниченным числом членов.

Теория спектрального анализа и синтеза хорошо развита, и для многих зависимостей y(t) заведомо известны значения коэффициентов Фурье или законы изменения (с частотой или номером гармоники) амплитуд и фаз гармоник. Это позволяет синтезировать наиболее распространенные зависимости y(t).

1521.jpg

Рис. 14.18 Гармонический синтез меандра

Документ, представленный на рис. 14.18, реализует синтез периодических прямоугольных импульсов со скважностью, равной 2 (меандра). Ряд Фурье для таких импульсов содержит только синусные члены, причем лишь с нечетными k. Это упрощает синтез, который в документе реализован для 3, 7 и 15 гармоник.

Меандр — не самая удачная для синтеза зависимость, поскольку он содержит резкие скачки. Для не очень сведущего в математике пользователя

удивительно, что такого рода зависимость вообще синтезируется из синусоид, которые представляют собою гладкие функции без всяких скачков Естественно, что для получения скачков нужно брать очень большое число гармоник Тем не менее уже при 15 гармониках синтезированный сигнал напоминает меандр и отличается от него конечным временем перепада и характерной волнистостью Она усиливается после быстрых перепадов и является проявлением так называемого эффекта Гиббса [30].

Эффект Гиббса, к сожалению, невозможно устранить (и даже ослабить) лишь увеличением числа гармоник при синтезе В этом случае просто возрастает частота волнообразных колебаний, но их относительная амплитуда меняется незначительно — она доходит до 18% от амплитуды синтезируемых колебаний.

Эффект Гиббса — явление крайне нежелательное Он фактически вводит в синтезируемые колебания новые компоненты, на деле отсутствующие Это может замаскировать или сильно исказить компоненты колебания, которые интересуют исследователя. Поэтому обычно стремятся ослабить эффект Гиббса, даже за счет уменьшения точности синтеза В дальнейшем будут обстоятельно рассмотрены приемы ослабления этого эффекта

Гармонический синтез пилообразных колебаний

В литературе можно найти множество примеров разложения в ряд Фурье самых разнообразных зависимостей y(t) Используя приведенные для них значения коэффициентов Фурье, можно синтезировать самые разнообразные за висимости (сигналы) Еще одним примером может служить показанный на рис. 14 19 гармонический синтез треугольных колебаний

1522.jpg

Рис. 14.19 Гармонический синтез треугольных колебаний

Может возникнуть вполне закономерный вопрос зачем столь сложным способом синтезировать такие простые зависимости, если они легко описываются целиком или по частям с помощью простых аналитических выражений? Действительно, если нужно просто смоделировать сигнал как временную функцию, нет необходимости синтезировать его по множеству гармоник

Однако существует большое количество теоретических методов анализа сигналов и практических устройств, основанных именно на спектральном подходе. Примером могут служить частотные фильтры и даже целые радиотехнические системы. При их анализе сигнал y(t) часто приходится разлагать в ряд Фурье для проведения в дальнейшем операций с гармониками. Имея сигнал y(t) уже в виде гармоник, можно заметно сократить время обработки сигнала и вообще убрать этап задания функции в виде временной зависимости. Во многих странах до сих пор выпускаются синтезаторы сложных колебаний, основанные на суммировании их гармонических составляющих с разными амплитудой и фазой.

Спектральный анализ методом Берга

Для некоторых простых зависимостей y(t) амплитуды гармоник могут выражаться аналитически. Примером служат отрезки синусоиды, получаемые выделением только верхней ее части. На практике такие колебания широко используются в радиотехнике, где обрезание нижней части синусоиды обусловлено работой электронных приборов (например, ламп или транзисторов) в нелинейном режиме.

Доля периода синусоиды, используемой для анализа гармоник, оценивается углом отсечки 9 (далее он измеряется в радианах). Он, к примеру, равен к, если обрезается нижняя половина синусоиды. Удобно вычислять относительную амплитуду k-тл гармоники (по отношению к усеченной амплитуде синусоидального импульса). Этот параметр для разных k впервые был вычислен Бергом.

1523.jpg

Рис. 14.20 Спектральный анализ методом Берга

В документе на рис. 14.20 представлены формулы для вычисления коэффициентов Берга о.О (относительная постоянная составляющая сигнала), а.1 (относительная амплитуда первой гармоники) и сот (относительная амплитуда п-й гармоники). Коэффициенты Берга являются функциями угла отсечки.

График в нижней части этого документа дает наглядное представление об изменении первых четырех коэффициентов Берга с изменением угла отсечки.

Нетрудно заметить существование максимумов у этих зависимостей. Например, максимальная амплитуда первой гармоники будет достигнута при угле отсечки 120 градусов, второй гармоники — 60 градусов и т. д. Знать эти углы полезно при проектировании умножителей частоты (например, удвоителей или устроителей), работа которых основана на фильтрации одной из высших гармоник.

Спектральный анализ прямоугольного импульса с применением БПФ

Встроенные в систему MathCAD средства быстрого преобразования Фурье (БПФ) существенно упрощают процедуру приближенного спектрального анализа. БПФ — быстрый алгоритм переноса сведений о функции, заданной 2" отсчетами во временной области, в частотную область. Если речь идет о спектральном анализе функции y(t), ее нужно задавать действительными отсчетами и использовать функцию fft(V), где V — вектор, элементы которого хранят отсчеты функции y(t). Результатом будет также вектор А с комплексными элементами — отсчетами в частотной области (их вдвое меньше, чем отсчетов во временной области). Фактически действительная и мнимая части этого вектора есть коэффициенты Фурье а^ и Ъ^ что существенно упрощает их получение.

Документ на рис. 14.21 поясняет проведение спектрального анализа с применением функции fft прямого БПФ. В начале документа (левый верхний угол) задан вектор с восемью единичными отсчетами и с остальными (всего их 32) — нулевыми. Затем вычислен вектор А — результат БПФ.

Рис. 14.21 Спектральный анализ прямоугольного импульса с применением БПФ (начало документа)

1524.jpg

В заключение (см. рис. 14.22) вычислены амплитуды гармоник и их фазы для представления импульса рядом Фурье. Завершает документ построение графиков амплитуд (модулей) и фаз первых десяти гармоник.

Чтобы лучше понять закономерности спектрального анализа, целесообразно провести его и для импульсов другой формы, например пилообразного импульса. Рекомендуем читателю проделать это самостоятельно.


eXTReMe Tracker