Урок 14.

Математические пакеты

Как уже отмечалось, некоторые функции системы Maple помимо их нахождения в ядре могут быть расположены в стандартной библиотеке и в пакетах, входящих в поставку системы. Это значит, что их не надо приобретать дополнительно, однако перед использованием таких функций надо загрузить их или отдельно, или вместе с целым пакетом, если большинство его функций представляет интерес для пользователя.

Обзор пакетов

В этом уроке дается выборочная информация о функциях, содержащихся в пакетах. Напоминаем, что список пакетов можно получить, используя команду:

>?packages

Этот список приведен ниже:

•  DEtools — решение дифференциальных уравнений;
•  Domains — создание областей определений в вычислениях;
•  GF — поля Галуа;
•  Gausslnt — работа с целыми числами Гаусса;
•  Groebner — вычисления в базисе Гробнера;
•  LREtools — манипуляции с линейными рекуррентными отношениями;
•  LinearAlgebra — линейная алгебра;
•  Matlab — интеграция с MATLAB;
•  Ore_algebra — основные вычисления в алгебре линейных операторов;
•  PDEtools — решение дифференциальных уравнений в частных производных;
•  Spread — работа с таблицами;
•  algcurves — работа с алгебраическими кривыми;
•  codegen — генерация кодов;
•  combinat — функции комбинаторики; 
•  combstruct — структуры комбинаторики;
•  context — контекстно-зависимые меню;
•  diffalg — дифференциальная алгебра;
•  difforms — дифференциальные формы;
•  finance — финансовые расчеты;
•  genfunc — рациональные функции;
•  geom3d — трехмерная геометрия Евклида;
•  geometry — евклидова геометрия;
•  group — представление бесконечных групп;
•  inttrans — интегральные преобразования;
•  liesymm — симметрия Ли;
•  linalg — линейная алгебра и структуры данных массивов;
•  networks — графы;
•  numapprox — численная аппроксимация;
•  numtheory — теория чисел;
•  orthopoly — ортогональные полиномы;
•  padic — Пи-адические числа;
•  plots — расширения графики;
•  plottools — создание дополнительных графических объектов; >
•  polytools — действия с полиномами;
•  powseries — формальные степенные ряды;
•  process — мультипроцессы (для операционной системы Unix);
•  simplex — линейная оптимизация (симплекс-метод); '
•  stats — статистика;
•  student — функции в помощь студентам;
•  sumtools — определенные и неопределенные суммы;
•  tensor — тензоры и теория относительности.

Как следует из просмотра этого обширного списка, пакеты Maple 7 охватывают многие крупные разделы математики и существенно дополняют возможности системы, предоставляемые средствами ее ядра. Пакеты расширения пишутся на Maple-языке программирования, поэтому они могут легко модернизироваться и пополняться. Этим, в частности, объясняется тот факт, что набор пакетов расширения в Maple 7 существенно пополнен по сравнению с предшествующими реализациями системы.

Новые пакеты Maple 7

Система Maple 7 пополнилась рядом новых пакетов: 

•  CurveFutting — приближение кривых;
•   ExternalCalling — внешние вычисления;
•  LinearFunctionalSystem — линейные функциональные системы;
•  MathML — поддержка средств языка MathML 2.0;
•  OrthogonalSeries — серии с ортогональными полиномами;
•  PolynomialTools — работа с полиномами.

Из этих пакетов надо особо выделить пакет приближения кривых. Он содержит наиболее важные функции для приближения кривых, которые до сих пор были разбросаны по ряду пакетов. В конце данного урока содержится описание пакета CurveFitting. Там же имеется описание другого нового и полезного пакета — PolynomialTools.

Получение информации о конкретном пакете 

С помощью команды:

 >?name_package;

можно получить информацию о любом пакете расширения и найти список входящих в него функций. Названия пакетов были приведены выше.

Для обращения к функциям того или иного пакета используется его полная загрузка командой:

>with(package):[:]

Знак : блокирует вывод списка функций пакета а знак ; указывает вывести этот список.

Если вам необходима какая-то одна функция пакета или небольшая их часть, то не стоит загружать пакет целиком. Это может привести к избыточным затратам памяти компьютера и даже нарушить нормальную работу некоторых функций — следует помнить, что нередко пакеты переопределяют некоторые функции ядра. Для загрузки избранных функций используется команда with в форме

>with(package. fl. f2. ...):

или

>with(package, [fl. f2. ...]):

При этом загружаются функции fl, f2, ... из пакета с именем packages.

Может показаться, что было бы лучше иметь все функции в ядре. Однако создание ядра, реализующего все функции системы (в версии Maple 7 их около 3000), неразумно. Такое ядро занимало бы много места в памяти, имело большое время загрузки и затрудняло бы поиск конкретных нужных функций.

Поэтому ядро Maple 7 содержит определенный (и довольно обширный) минимум хорошо апробированных функций, а большинство других функций размещается в стандартной библиотеке и пакетах. Они готовятся на Maple-языке программирования и могут легко модернизироваться. К тому же пакеты могут модифицироваться (что не очень желательно) или дополняться (что приветствуется) пользователями. Некоторой платой за это является необходимость вызова того или иного пакета или функции перед их применением.

В этом разделе описана структура пакетов Maple 7, имеющих математическую направленность. Ограниченный объем книги и огромное число функций в пакетах не позволяют остановиться даже на описании синтаксических правил применения всех функций этих пакетов. Очевидно, что в этом нет и особого смысла — подавляющее большинство функций представляет малый интерес для конкретного пользователя. Те же, кто ими интересуются, могут легко восполнить пробелы в их описании с помощью справочной системы. Однако в описании состава каждого пакета в данном уроке упомянуты имена всех без исключения его функций. Это позволяет оценить полноту того или иного пакета и без труда вызвать справочные страницы для любой функции. Описание функций пакетов в уроке дано выборочно, при этом предпочтение отдавалось тем функциям, которые используются в массовых математических и научно-технических расчетах и представляют интерес для достаточно широкого круга читателей.  Полезно отметить, что большинство функций имеет вполне понятные имена, отражающие их суть и назначение. К примеру, назначение функций animate или даже textplot в пакете plots или Diff, Int и Limit в пакете student понятны, пожалуй, всем. Но и в гораздо более специализированных пакетах имена входящих в них функций в значительной мере знакомы специалистам, поскольку почти всегда ассоциируются с общепринятыми названиями тех или иных специализированных функций или с их комбинациями.

Пакеты функций комбинаторики

Пакет combinat

Функции комбинаторики достаточно известны из обычного курса математики. При вызове пакета выводится (если вывод не заблокирован двоеточием) список его функций:

> with(combinat);

Warning, the protected name Chi has been redefined and unprotected

[Chi,bell, binomialcartprod, character, choose, composition, conjpart, decodepart, encodepart,fibonacci,firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial, nextpart, numbcomb, numbcomp, numbpart, numbperm, partition, permute, powerset, prevpart, randcomb, randpart, randperm, Stirling], stirling2, subsets, vectoint]

Ввиду важности функций комбинаторики приведем их полные определения:

•  Chi(x) — гиперболический косинусный интеграл;
•  bell(n) —возвращает число ехр(ехр(х)-1) =sum(ben(n)/n!*x^n, n=0..infinity), причем для вычислении используется рекуррентное соотношение bell(n+1) = (bell(n)+1)^n;
•  binomial (n, r) — возвращает биноминальные коэффициенты, причем, если n и r — целые числа, удовлетворяющие условию 0 <= r<= n, то функция возвращает C(n.r)=n!/(r!(n-r)!), а в общем случае С(n, r) = limit(GAMMA(N+D/ GAMMA(R+l)/GAMMA(N-R-t-l),R=r,N=n);
•  composition(n, k) — возвращает списки композиций для целых неотрицательных n и k;
•  fibonacci(n) — возвращает числа Фибоначчи, вычисляемые по рекуррентной формуле F(n) =F(n - 1) +F(n - 2), где F(0) =0 и F(1) =1;
•  fibonacci(n, х) — возвращает значение полинома Фибоначчи F(n, x) =-х F(n - 1,x) + F(n - 2, х), где F(0,x) = 0 и F(l,x) = 1, при этом F(n) = F(n, 1);
•  firstpart(n) — возвращает первую часть каноническей последовательности ряда;
•  nextpart(l) — возвращает следующую часть канонической последовательности ряда;
•  lastpart(n) — возвращает последнюю часть канонической последовательности ряда;
•  prevpart(1) — возвращает предыдущую часть канонической последовательности ряда;
•  conjpart(l) — возвращает объединенный раздел в канонической последовательности ряда;
•  graycode(n) — возвращает список кодов Грея для габитовых чисел;
•  multinomial (n, kl, k2, .... km) — возвращает мультиномиальные коэффициенты;
•  numbcomb(n) и numbcomb(n. m) — возвращает число комбинаций;
•  numbcomp(n, k) — возвращает число композиций;
•  numbpart(n) — возвращает список всех возможных сумм, дающих п;
•  permute(n) и permute(n, r) — возвращает numbperm(n, r) = nops(permute(n. r));
•  powerset(s) — возвращает степень множества в множестве s;
•  randcomb(n, m) — возвращает случайную комбинацию;
•  randpart(n) — возвращает случайную часть;
•  randperm(n) — возвращает случайную композицию; 
•  stirling(n, m) — возвращает число Стирлинга первого рода;
•  stirling2(n, m) — возвращает число Стирлинга второго рода;
•  subsets(L) — задает итерационную процедуру над степенями множества или списка L;
•  vectoint(l) — возвращает индекс вектора канонического упорядочения 1;
•  inttovec(m, n) — возвращает вектор канонического упорядочения для неотрицательных целых чисел тип.

Ниже даны примеры применения некоторых из этих функций:

> choose(4,3); 

[[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]

> choose([a,a,b,c].3):

[[a,a,b],[a,a,c],[atb,c]] 

> composition(3,2):

{[2,1],[1,2]} 

> decodepart(4,2);

[1,1,2] 

> fibonacci(l0);

55 

> seq(fibonacci(1),i-l..l2):

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

 > partition(5);

[[1,1,1,1,1], [1,1,1,2], [1,2,2], [1,1,3], [2,3], [1,4], [5]] 

> firstpart(3):

[1,1,1] 

> nextpart(%);

[1,2] 

> prevpart(%);

[1,1,1] 

> 1astpart(3):

[3] 

> conjpart(%): 

[1,1,1] 

> multinomial(8,2,3,3);

560 

> numbcomp(8,5):

35  

> nuropart(3);

numpart(3) 

> numbperm(4); 

24  

> numbperm([a,b]):

2 

 > numbperm({a,b,c},2);

6 

> permute(3,2);

[[l,-2],[l,3],[2,l],[2,3],[3,l],[3,2]] 

> permute([a,a,b],2):

[[a,a],[a,b],(b,a]] 

> powerset([a,a,b]):

[[],[а],[b],[а,Ь],[а,а],[а,а,b-]]

> randcomb([a,b,c,d],3):

[a,c,d] 

> randcomb([a,b,c,d],3);

[a,b,d]

 > randpart(l0);

[2,8]

> randpart(l0):

[10] 

> stirling(10,5);

-269325 

> stirling2(10,5):

42525

> S:=subsets({l,2}):

 > while not S[finished] do S[nextva1ue]() od:

{ }

{1}

{2}

{1,2} 

> vectoint([l,0,0]);

1

 > inttovec(6,3);

[1,0,1]

Читателю, желающему использовать данный пакет, рекомендуется внимательно ознакомиться с этими простыми примерами и просмотреть примеры из справочной базы данных для имеющихся в пакете функций.

Пакет combstruct

Еще девять функций, относящихся к структурам комбинаторики, содержит пакет combstruct:

> with(combstruct):

[allstructs, count, draw,finished, gfeqns, gfseries, gfsolve, iterstritcts, nextstruct]

Эти функции служат для создания случайно однородных объектов, принадлежащих заданному комбинаторному классу. Ограничимся приведением примеров применения этих функций:

> alltructs(Subset({one,two}));

{{ },{one, two}, {two}, {one}}

 > anstructs(Permutation([x,y,z]),size=2):

[[x,y],[x,z],[y,x],[y,z],[z,x],[z,y]] 

> count(Subset({l,2,3}));

8 

> draw(Combiination(5),size=4);

{1,3,4,5}

> count(Permutation([a,a,b])): .

3

> 1t :=iterstructs(Permutation([a,a,b]),size=2);

it := table([finished = false, nextvalue = (pmc() ... endproc )])

 > draw(Partition(9));

[2,2,2,3]

 > allstructs(Composition(3), size=2):

[[2,l],[l,2]]

Для более полного знакомства с этими специфическими функциями обратитесь к справочной системе.

Пакет финансово-экономических функций finance

Пакет финансово-экономических расчетов открывается командой:

 > with(finance)

[amortization, annuity, blackscholes, cashflows, effectiverate,futurevalue, growingannuity, growingperpetuity, levelcoupon, perpetuity, presentvalue, yieldtomaturity]

Этот пакет представлен рядом указанных выше функций в двух формах:

function(args)

finance[function](args).

Благодаря правилам задания аргументов можно реализовать практически все известные финансово-экономические расчеты, такие как амортизация, накопления и платежи по вкладам и т. д. В свете задач рыночной экономики эти функции полезны для приверженцев решения всего на свете без выхода из оболочки Maple. Все же надо отметить, что малозаметные тонкости в определении финансово-экономических функций затрудняют их применение. Есть множество специальных финансово-экономических пакетов, например «Бухгалтерия 1C», которые лучше подходят для наших экономических реалий, чем «заумный» и прозападный Maple 7.

Полный перечень функций можно найти в справке по этому пакету. Ограничимся упоминанием нескольких наиболее характерных функций, связанных с использованием вкладов:

•  annuity(cash,rate,nperiods) — вычисление суммы, находящейся на вкладе с начальным значением cash, процентом начисления rate и числом периодов nperiods;
•  cashflows(flows,rate) — вычисление общей суммы вклада по списку вложений flows и проценту обесценивания денег rate;
•  futurevalue(amount, rate, nperiods) — вычисление будущего значения вклада при начальном вложении amount, проценте начисления rate и числе периодов nperiods;
•  presentvalue(amount, rate, nperiods) — вычисление начального вклада для получения суммы в amount при проценте начислений rate и числе вкладов nperiods.

Примеры применения этих функций даны ниже:

Поскольку формулы и обозначения в финансово-экономических расчетах в различной литературе порою заметно различаются (особенно сильны различия между нашей и западной литературой), это может создать серьезные ошибки при вычислениях. К примеру, в формулах Maple на самом деле используются не проценты начислений или обесценивания вкладов, а соответствующие им относительные единицы, например 10% соответствует 0,1.. В нашей литературе проценты обычно задаются в явном виде, то есть rate = 10 при 10%. Надо следить и за знаком величины rate, поскольку она может трактоваться как процент начислений или процент обесценивания денег по вкладам, что соответствует различным ее знакам.

Расчеты такого рода для Maple 7 относятся к достаточно простым, так что даже начинающий пользователь может составить свои функции для таких расчетов по вполне понятным ему и апробированным формулам. Надо отметить, однако, что, используя символьное задание параметров функций, легко получить вывод именно тех формул, которые использует система Maple, и сравнить их со своими формулами. В случае совпадения применение функций Maple возможно и предпочтительно.

ПРИМЕЧАНИЕ 

В целом применение Maple 7 как системы с символьной и точной арифметикой весьма  предпочтительно в финансово-экономических и статистических расчетах, поскольку обеспечивает принципиально повышенную точность и устойчивость таких расчетов. 

Пакет ортогональных многочленов orthopoly

Ортогональные многочлены (полиномы) находят самое широкое применение в различных математических расчетах. В частности, они широко используются в алгоритмах интерполяции, экстраполяции и аппроксимации различных функциональных зависимостей. В пакете orthopoly задано в функци: 

> with(orthopoly);

[G,H,L,P,T,U]

Однобуквенные имена этих функций отождествляются с первой буквой в наименовании ортогональных полиномов. Вопреки принятым в Maple 7 правилам, большие буквы в названиях этих полиномов не указывают на инертность данных функций — все они являются немедленно вычисляемыми. В данном разделе функции этого пакета будут полностью описаны. Отметим определения указанных функций:

•  G(n,a,x) — полином Гегенбауэра (из семейства ультрасферических полиномов); 
•  Н(n,х) — полином Эрмита; 
•  L(n,x) — полином Лагерра; 
•  L(n,а,х) — обобщенный полином Лагерра; 
•  Р(n,х) — полином Лежандра; 
•  P(n,a,b,x) — полином Якоби;
•  Т(n,х) — обобщенный полином Чебышева первого рода;
•   U(n,x) — обобщенный полином Чебышева второго рода.

Свойства ортогональных многочленов хорошо известны. Все они характеризуются целочисленным порядком n, аргументом х и иногда дополнительными параметрами а и b. Существуют простые рекуррентные формулы, позволяющие найти полином n-го порядка по значению полинома (n - 1)-го порядка. Эти формулы и используются для вычисления полиномов высшего порядка. Ниже представлены примеры вычисления ортогональных полиномов:

 

Представляет интерес построение графиков ортогональных многочленов. На рис. 14.1 построены графики ряда многочленов Гегенбауэра и Эрмита.

Рис. 14.1. Графики ортогональных многочленов Гегенбауэра и Эрмита

На рис. 14.2 построены графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра.

Наконец, на рис. 14.3 даны графики ортогональных многочленов Чебышева Т(n, х) и U(n, х).

Приведенные графики дают начальное представление о поведении ортогональных многочленов. 

Рис. 14.2. Графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра

Рис. 14.3. Графики ортогональных многочленов Чебышева

К примеру, многочлены Чебышева имеют минимальное отклонение от оси абсцисс в заданном интервале изменениях. Это их свойство объясняет полезное применение таких многочленов при решении задач аппроксимации функций. Можно порекомендовать читателю по их образу и подобию построить графики ортогональных многочленов при других значениях параметра и и диапазонах изменения аргумента х.

 В отличие от ряда элементарных функций ортогональные многочлены определены только для действительного аргументах. При комплексном аргументе просто повторяется исходное выражение с многочленом:

> eva1f(U(2,2+3*I))):

Р(2,2 + 3I) 

> evalf(sqrt(2+3*I)));

1.674149228+ .8959774761I

Ортогональные многочлены неопределены также и для дробного показателя n. Впрочем, надо отметить, что такие многочлены на практике используются крайне редко.

Пакет для работы с суммами sumtools

Состав пакета sumtools

Этот инструментальный пакет предназначен для работы со специальными суммами. Он содержит указанные ниже функции:

> with(suintools);

[Hypersum, Sumtohyper, extended_gosper, gosper, hyperrecursion, hypersum, hyperterm, simpcomb, sumrecursion, sumtohyper]

Назначение функций данного пакета перечислено ниже:

•  hypersum(U, L, z, n) и Hypersum(U, L, z, n) — вычисление гиперсумм;
•  sumtohyper(f, k) и Sumtohyper(f, k) — преобразование сумм в гиперсуммы;
•  extended_gosper(f, k), extended_gosper(f, k=m..n) и extended_gosper(f, k, j) — реализация расширенного алгоритма Госпера;
•  gosper(f, k) и gosper(f, k=m..n) — реализация алгоритма Госпера;
•  hyperrecursion(U, L, z, s(n)) — реализация гиперрекурсионного алгоритма;
•  hyperterm(U, L, z, k) и Hyperterm(U, L,z, k) — ввод гипергеометрического терма.

Работа с пакетом sumtools

Приведем примеры на применение этих функций:

Из этих примеров применение функций данного пакета достаточно очевидно.

Пакет реализации степенных разложений powseries

Состав пакета powseries

Степенные разложения часто используются в математических расчетах для приближенного представления разнообразных функций и обеспечения единообразия такого представления. В пакете powseries сосредоточены расширенные средства по реализации таких разложений. Они представлены 22 функциями:

> with(powseries);

[compose, evalpow, inverse, multconst, multiply, negative, pawadd, powcos, powcreate, powdijff, powexp, powint, powlog, powpoly, powsin, powsolve, powsqrt, quotient, reversion, subtract, template, tpsform ]

Ниже представлено определение этих функций:

•  compose(а,b) — объединяет ряды а и b;
•  evalpow(expr) — вычисляет выражение ехрr и возвращает его в виде ряда;
•  inverse(р) — инвертирует ряд р;
•  mu1tconst(p,const) — умножает ряд р на константу const; ,
•  multiply(a,b) — умножает ряд а на ряд b;
•  negative(p) — возвращает аддитивный, обратный по отношению к р ряд;
•  powadd(a,b,...) — складывает ряды а, b, ...;
•  powcreate(expr) — создает ряд для выражения ехрr;
•  powpoly(pol ,var) — создает ряд для полинома pol по переменной van;
•  powsolve(sys) — создает ряд для решения дифференциальных уравнений sys;
•  quotient(a,b) — возвращает частное для а и b в виде ряда;
• reversion(a) — дает обратное к композиции разложение ряда а;
•  subtract(а,b) — дает разность рядов а и b.

В выражении ехрr могут использоваться операторы +, -, *, / и  ^. С ними могут комбинироваться встроенные функции и функции пользователя, например /(g). Кроме того, могут использоваться следующие функции:

Примеры применения пакета powseries

Назначение большинства этих функций очевидно из их названий — они возвращают соответствующую функцию (указанную после слова pow в имени) в виде разложения в ряд или полинома. Например, powexp раскладывает выражения с экспоненциальными функциями в ряд.

Получаемые функциями ряды представляются в специальном формате. Поэтому для их применения в обычном виде необходимо использовать функцию tpsform в следующих видах:

•  tpsform(p, var, order) — преобразует ряд р в обычную форму с заданием порядка order;
•  tpsform(p, var) — преобразует ряд р в обычную форму с порядком, заданным переменной Order.

Здесь р — имя степенного ряда, var.— переменная, относительно которой записан ряд, order — порядок ряда. Если параметр order не указан, используется значение глобальной переменной Order. Ниже даны примеры, иллюстрирующие технику работы со степенными разложениями:

Применение функций этого пакета достаточно просто и прозрачно, так что заинтересованный читатель может сам опробовать на примерах работу тех функций, которые не были использованы в приведенных примерах.

Пакет числовой аппроксимации numapprox

Состав пакета numapprox

Этот пакет содержит небольшое число безусловно очень важных функций:

> with(numapprox);

[chebdeg, chebmult, chebpade, chebsort, chebyshev, confracform, hermite_pade, hornerform, infnorm, laurent, minimax, pade, remez]

В их числе функции интерполяции и аппроксимации полиномами Чебышева, рядом Тейлора, отношением полиномов (Паде-аппроксимация) и др. Все они широко применяются не только в фундаментальной математике, но и при решении многих прикладных задач. Рассмотрим их, начиная с функций аппроксимации аналитических зависимостей.

Разложение функции в ряд Лорана

Для разложения функции f в ряд Лорана с порядком n в окрестности точки х = а (или х = 0) служит функция laurent:

1aurent(f, x=a.. n) 

1aurent(f, х, n) 

Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию разложения в ряд Лорана:

Паде-аппроксимация аналитических функций

Для аппроксимации аналитических функций одной из лучших является Паде-аппроксимация, при которой заданная функция приближается отношением двух полиномов. Для осуществления такой аппроксимации используется функция pade:

pade(f. x=a, [m.n])

pade(f.,х, [m.n])

Здесь f — аналитическое выражение или функция, х — переменная, относительно которой записывается аппроксимирующая функция, а — координата точки, относительно которой выполняется аппроксимация, m, n — максимальные степени полиномов числителя и знаменателя. Технику аппроксимации Паде поясняет рис. 14.4.

На рис. 14.4 представлена аппроксимация синусоидальной функции, а также построены графики этой функции и аппроксимирующей функции. Под ними дан также график абсолютной погрешности для этого вида аппроксимации. Нетрудно заметить, что уже в интервале [-л, я] погрешность резко возрастает на концах интервала аппроксимации.

Важным достоинством Паде-аппроксимации является возможность довольно точного приближения разрывных функций. Это связано с тем, что нули знаменателя у аппроксимирующего выражения способны приближать разрывы функций, если на заданном интервале аппроксимации число разрывов конечно. На рис. 14.5 представлен пример Паде-аппроксимации функции tan(x) в интервале от -4,5 до 4,5, включающем два разрыва функции.

Как видно из рис. 14.5, расхождение между функцией тангенса и ее аппроксимирующей функцией едва заметно лишь на краях интервала аппроксимации. Оба разрыва прекрасно приближаются аппроксимирующей функцией. Такой характер аппроксимации подтверждается и графиком погрешности, которая лишь на концах интервала аппроксимации [-4,0, 4,0] достигает значений 0,01 (около 1%).

Рис. 14.4. Аппроксимация Паде для синусоидальной функции

Рис. 14.5. Аппроксимация Паде для разрывной функции тангенса

Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева

Для многих аналитических зависимостей хорошие результаты дает аппроксимация полиномами Чебышева. В общем случае применяется Паде-аппроксимация отношением таких полиномов. Она реализуется функциями chebpade:

chebpade(f, x=a..b, [m.n])

chebpade(f., x, [m.n])

chebpade(f, a..b, [m,n])

Здесь а..b задает отрезок аппроксимации, тип— максимальные степени числителя и знаменателя полиномов Чебышева. Приведенный ниже пример показывает аппроксимацию Паде полиномами Чебышева для функции f=cos(x):

Наилучшая минимаксная аппроксимация

Минимаксная аппроксимация отличается от Паде-аппроксимации минимизацией максимальной абсолютной погрешности во всем интервале аппроксимации. Она использует алгоритм Ремеза (см. ниже) и реализуется следующей функцией:

mimmax(f, x=a..b, [m.n], w, 'maxerror') 

minimax(f, a..b, [m,n], w, 'maxerror')

Здесь помимо уже отмеченных параметров w — процедура или выражение, maxerror — переменная, которой приписывается значение miniraax-нормы. Ниже дан пример аппроксимации функции cos(x) в интервале [-3, 3]:

Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза

Для получения наилучшей полиномиальной аппроксимации используется алгоритм Ремеза, который реализует следующая функция:

remez(w, f, a, b, m, n,_crit, 'maxerror')

Здесь w — процедура, представляющая функцию w(x) > 0 в интервале [a, b], f — процедура, представляющая аппроксимируемую функцию а и b — числа,' задающие интервал аппроксимации fa,b], m и n — степени числителя и знаменателя аппроксимирующей функции, crit — массив, индексированный от 1 до m + n + 2 и представляющий набор оценок в критических точках (то есть точек максимума/минимума кривых погрешности), mахеrrоr — имя переменной, которой присваивается минимаксная норма w abs(f -r).

Следующий пример иллюстрирует применение данной функции для аппроксимации функции erf(x):

Другие функции пакета

Отметим назначение других функций пакета numapprox:

•  chebdeg(p) — возвращает степень полинома Чебышева р;
•  chebmult(p, q) — умножение полиномов Чебышева р и q;
•  chebsort(e) — сортирует элементы ряда Чебышева;
•  confracform(r) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь;
•  confracform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь с независимой переменной х; 
•  hornerform(r) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера;
•  hornerform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера с независимой переменной х; 
•  infnorm(f, x=a...b, 'xmax') — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезкех [а, b];
•   infnorm(f, a...b, 'xmax') — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезке [а, b].

Действие этих функций очевидно, и читатель может самостоятельно опробовать их в работе.

Пакет интегральных преобразований inttrans

Общая характеристика пакета

Это один из пакетов, наиболее важных для общематематических и научно-технических приложений. Он содержит небольшой набор функций:

> with(inttrans):

[addtable,fourier,fouriercos,fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invldplace, invmellin, laplace, mellin, savetable]

Однако эти функции охватывают такие практические важные области математики, как ряды Фурье, прямые и обратные преобразования Лапласа и Фурье и ряд других интегральных преобразований. Ниже они обсуждены более подробно.

В предшествующих реализациях системы Maple функции прямого и обратного Z-преобразований также входили в пакет inttrans, однако в Maple 6 и 7 они перенесены в ядро системы.

Прямое и обратное преобразования Лапласа

Прямое преобразование Лапсаса заключается в переводе некоторой функции времени f(t) в операторную форму F(p). Это преобразование означает вычисление интеграла

Для осуществления прямого преобразования Лапласа Maple 7 имеет функцию

laplace(expr,t,p)

Здесь ехрr— преобразуемое выражение, t — переменная, относительно которой записано ехрr, и р — переменная, относительно которой записывается результат преобразования.

Обратное преобразование Лапласа означает переход от функции F(p) к функции (t) с помощью формулы

Для вычисления этого интеграла служит функция:

invlaplace(expr,p, t)

где ехрr — выражение относительно переменной р, t — переменная, относительно которой записывается результирующая зависимость. Оба преобразования широко применяются в практике научно-технических вычислений и отражают суть операторного метода. При этом прямое преобразование создает изображение  а обратное —оригинал функции. Ниже приведены примеры применения прямого и обратного преобразований Лапласа:

Нетрудно заметить, что в данном случае последовательное применение прямого, а затем обратного преобразования восстанавливает исходную функцию sin(t) + acos(t).

Прямое и обратное преобразования Фурье

Прямое преобразование Фурье преобразует функцию времени f(t) в функцию частот и заключается в вычислении следующей интегральной функции:

Оно реализуется следующей функцией пакета интегральных преобразований inttrans:

fourier(expr,t,w)

Здесь ехрr — выражение (уравнение или множество), t — переменная, от которой зависит ехрr, и w — переменная, относительно которой записывается результирующая функция. Обратное преобразование Фурье задается вычислением интеграла:

Оно фактически переводит представление сигнала из частотной области во временную. Примеры применения преобразования Фурье представлены ниже:

Обратите внимание на то, что даже в простом первом примере применение обратного преобразования Фурье вслед за прямым не привело к буквальному восстановлению исходной функции sin(t). Потребовалась_: команда simplify, чтобы перевести результат в виде представления синуса через экспоненциальные функции к обычному виду sin(t).

Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье

Разложение функции f(t) в ряд Фурье требует вычисления интегралов следующего вида:

Они получили название косинусного и синусного интегралов Фурье и фактически задают вычисление коэффициентов ряда Фурье, в который может быть разложена функция ./(t). Для вычисления этих интегралов в пакете используются следующие функции:

 fouriercos(expr,t,s)

 fouriersln(expr,t,s)

Поскольку формат задания этих функций вполне очевиден, ограничимся примерами их применения:

Интегральное преобразование Ханкеля

Интегральное преобразование Ханкеля задается следующим выражением:

и выполняется функцией:

hankel(expr, t, s, nu)

Здесь ехрr — выражение, равенство (или множество, или список с выражениями/равенствами), t — переменная в ехрr, преобразуемая в параметр преобразования s, nu— порядок преобразования. Следующий пример демонстрирует применение функции Ханкеля:

Прямое и обратное преобразования Гильберта

Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением:

и превращает функцию f(t) в F(s).

Обратное преобразование Гильберта означает нахождение f(f) по заданной F(s).

Эти преобразования выполняются функциями:

hilbert(expr, t, s) 

invhilbert(expr, t,s)

где назначение параметров очевидно.

Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:

 

Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гильберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не восстанавливает функцию f(t) буквально.

Интегральное преобразование Меллина

Интегральное преобразование Меллина задается выражением:

и реализуется функцией:

mellin(expr, х, s)

с очевидными параметрами ехрr, х и s.

Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры:

Функция addtable

Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция:

addtable(tname,patt,ехрr,t,s)

где tname — наименование преобразования, для которого образец patt должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны.

Следующие примеры поясняют применение этой функции:

Пакет приближения кривых CurveFitting.

Общая характеристика пакета CurveFitting

Новый пакет приближения кривых CurveFitting весьма полезен тем, кто занимается столь распространенной задачей, как приближение кривых. Он содержит ряд функций:

> with(CurveFitting);

Доступ к функциям пакета возможен с помощью конструкций:

CurveFitting[function](arguments) 

function(arguments)

Число функций пакета невелико и все они описаны ниже.

Функция вычисления В-сплайнов Bspline

Функция BSpline(k, v, opt) служит для вычисления В-сплайнов. Она имеет следующие параметры: k — порядок сплайна (целое число), v— имя и opt — параметр в виде knots=knotlist, где knotlist — спискок из k+1 элементов алгебраического типа. Используя функцию CurveFitting[BSplineCurve], можно строить кривые В-сплайнов. Примеры применения этой функции представлены ниже:

Как нетрудно заметить из этих примеров, функция Bspline возвращает результат в виде кусочных функций типа piecewise.

Функция построения В-сплайновых кривых BsplineCurve

Функция BsplineCurve служит для построения кривых в B-cплайнов. Она Может использоваться в формах:

BSpl1neCurve(xydata, v, opts)

BSpllneCurve (xdata, ydata, v, opts)

Здесь:

xydata — список, массив или матрица точек в форме [[xl.ylj, [х2,у2],..., [хn,уn]];

xdata — список, массив или вектор значений независимой переменной [xl,x2,... ,хn];

ydata — список, массив или вектор значений зависимой переменной в форме [у1,у2,...,уn];

v — имя независимой переменной;

opts — необязательный параметр в форме одного или более выражений вида order=k или knots=knot1ist.

Примеры применения функции BSplineCurve с порядком, заданным по умолчанию, и с третьим порядком (кубический В-сплайн) представлены на рис. 14.6.

Рис. 14.6. Применение функции BSplineCurve

Следует отметить, что при малом, числе точек аппроксимация В-сплайнами дает невысокую точность, что и видно из рис. 14.6

Функция реализации метода наименьших квадратов LeastSquares

Функция LeastSquares служит для реализации аппроксимации по методу наименьших квадратов:

LeastSquares (xydata, v, opts) 

LeastSquares(xdata, ydata, v.,opts)

Все входящие в нее параметры были определены выше (см. параметры функции BSplineCurve). Параметр opts задается в форме выражений weight=wlist, curve=f или params=pset.

Следующие примеры иллюстрируют применение функции LeastSquares:

Функция полиномиальной аппроксимации PolynomialInterpolation

Функция PolynomialInterpolation реализует полиномиальную интерполяцию и может использоваться в виде:

Polynomiallnterpolation (xydata, v) 

Polynomiallnterpolation(xdata, ydata, v)

Параметры функции были определены выше. Параметр v может быть как именем, так и численным значением. Примеры применения функции представлены ниже:

Функция рациональной аппроксимации RacionalInterpolation

Функция рациональной интерполяции задается в Виде: 

Rational Interpolation (xydata, z, opts)

RationalInterpolation(xdata, ydata, z, opts)

где необязательный параметр opts задается выражениями methochmethodtype или degrees=[dl,d2]. Функция возвращает результат в виде отношения двух полиномов. Параметр methodtype может иметь значения ⁴lookaround или subresultant, задающие учет или пропуск сингулярных точек.

Пример применения функции Rational Interpolation (загрузка пакета опущена, но предполагается):

Функция вычисления обычных сплайнов Spline

Функция:

Spline(xydata, v, opts)

Spline(xdata, ydata, v, opts)

вычисляет обычные (не В-типа) сплайны. Примеры ее применения даны ниже:

Функция аппроксимации непрерывными дробями ThieleInterpolation

Функция ThieleInterpolation осуществляет интерполяцию на основе непрерывных дробей (Thiele's-интерполяцию). Она задается в виде:

Thielelnterpolation (xydata, v)

  Thielelnterpolation(xdata, ydata, v)

Примеры применения данной функции представлены ниже:

Пакет для работы с полиномами PolynomialTools

Обзор возможностей пакета PolynomialTools

Пакет для работы с полиномами PolynomialTools предназначен для выполнения ряда специальных операций с полиномами или создания полиномов с заданными свойствами. Этот пакет имеет небольшое число функций: 

 > with(PolynomialTools):

[IsSelfReciprocal, MinimalPolynomial, PDEToPolynomial, PolynomialToPDE, Shorten, Shorter, Sort, Split, Splits, Translate]

В пакет входят функции расщепления, сортировки и преобразования полиномов (в том числе в дифференциальные уравнения и наоборот) и др.

Функции для работы с полиномами

Рассмотрим несколько функций пакета PolynomialTools общего характера. Примеры применения этой функции представлены ниже:

ПРИМЕЧАНИЕ 

Функция IsSelfReciprocat(a, х, 'р') проверяет полином а(х) на условие coeff(a,x,k) =coeff(a,x,d-k) для всех k = 0. .d, где d = degree(a; х) — порядок полинома. Если это условие выполняется, то возвращается логическое значение true, иначе — false. Если порядок d четный и если задан третий аргумент р, то р будет представлять полином Р порядка d/2, такой, что x^{^}(1/2)*P(x+l/x) = а. При нечетном d полином а будет взаимообратным, что подразумевает деление на х+1. В этом случае; если р указано, результат вычисляется в форме а/(х+1).

Функция MinimalPolynomial (r, n, асе) возвращает полином минимальной степени не превышающей n, имеющий корень г. Необязательный аргумент асе задает погрешность приближения. Функция MinimalPolynomia(r, n) использует решетчатый алгоритм и находит полином степени п (или менее) с наименьшими целыми коэффициентами. Корень г может быть действительным или комплексным. Результат зависит от значения переменной окружения Digits. По умолчанию асе задано как 10*(Digits-2). Примеры применения данной функции:

Функция Split(a, х, b) служит для расщепления полинома а с независимой переменной х. Параметр b — необязательный. Функция Split(a, х) осуществляет комплексную факторизацию инвариантного полинома а по х. Если третий аргумент b задан, он представляет множество элементов {tl,... ,tm}, таких что полином а расщепляется над K=Q(tl,... ,tm), где Q означает поле рациональных чисел. Примеры:

В пакете определена еще одна подобная функция Splits, с которой можно познакомиться по справке на нее.

Функция Translate(a, х, х0) преобразует полином а(х) с подстановкой х - х + х0, где x0 — константа. Примеры применения этой функции даны ниже:

Функции сортировки полиномов

Для сортировки полиномов предназначены следующие три функции:

 Shorter(f, g, х) 

Sort(v, х) 

Shorten(f, x)

Здесь f и g полиномы, v — список полиномов их — независимая переменная. Функции отличаются характером сортировки.

Функция Shorter определяет полином f как более короткий, чем g, по следующим признакам: меньшая длина, меньшее имя независимой переменной х, не дробный и меньшая степень других переменных. Функция Sort сортирует лист полиномов х по признакам, определяемым Shorter. Функция Shorten использует преобразования Мебиуса. Многочисленные детали ее применения можно найти в справке по данной функции. Примеры применения функций сортировки:

Функции преобразования полиномов в РDЕ и обратно

Функция PolynomialToPDE(polys, vars, depvars) преобразует полиномы polys пo независимым переменным vans в дифференциальные уравнения с частными производными (PDE). Другая функция PDEToPolynomia(pdes, vans, depvars) осуществляет обратное преобразование.

Следующие примеры иллюстрируют применение этих функций:

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

•  Обращаться к пакетам расширения.
•  Пользоваться функциями пакетов комбинаторики.
•  Применять пакет финансово-экономических функций.
• Использовать ортогональные многочлены из пакета orthpoly.
•  Работать с суммами пакета sumtools.
•  Применять степенные разложения пакета powerseries.
•  Работать с пакетом численной аппроксимации numapprox.
•  Использовать интегральные преобразования пакета inttrans.
•  Осуществлять приближение кривых с помощью пакета CurveFitting.
•  Использовать пакет работы с полиномами PolynomialTools.